Ойлерова права: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Етикети: Отменени Редакция чрез мобилно устройство Редакция чрез мобилно приложение |
Редакция без резюме Етикети: Отменени Редакция чрез мобилно устройство Редакция чрез мобилно приложение |
||
Ред 3: | Ред 3: | ||
== Доказателство == |
== Доказателство == |
||
За да се докаже, че трите точки лежат на една права, е необходимо да се покаже, че <math>\overrightarrow{OG}=\lambda\overrightarrow{OH}</math>. От [[Теорема на Хамилтон|теоремата на Хамилтон]] |
За да се докаже, че трите точки лежат на една права, е необходимо да се покаже, че <math>\overrightarrow{OG}=\lambda\overrightarrow{OH}</math>. От [[Теорема на Хамилтон|теоремата на Хамилтон]] имаме |
||
<math>\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}</math> |
<math>\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}</math> |
Версия от 19:13, 29 март 2021
Ойлеровата права или правата на Ойлер е права във всеки триъгълник, определена от центъра на описаната около триъгълника окръжност (пресечна точка на симетралите), медицентъра (пресечната точка на медианите) и ортоцентъра (пресечната точка на височините), които при стандартните означения за триъгълник са съответно О, G и Н.[1]
Доказателство
За да се докаже, че трите точки лежат на една права, е необходимо да се покаже, че . От теоремата на Хамилтон имаме
От друга страна, за произволна точка е в сила равенството (вж. медицентър):
откъдето стигаме до извода, че
.
С това доказахме, че точките , и лежат на една права.
Свойства
- Освен че трите точки , и лежат на една права, в сила е и съотношението .
- Ако Ойлеровата права минава през връх на триъгълника, то той е равнобедрен и/или правоъгълен (като едното не изключва другото).
- На Ойлеровата права лежи центърът на окръжността на Фойербах (още наречена „окръжност на деветте точки“).[1] В сила са съотношенията: , , . [2]
- Също така, на Ойлеровата права лежи точката на Лоншан, дефинирана като ортоцентър на антикомплементарния на дадения триъгълник. [2]
Източници
- ↑ а б „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х, стр. 196
- ↑ а б Euler Line, Wolfram Mathematics