Ред на Тейлър: Разлика между версии
мРедакция без резюме |
Редакция без резюме |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
[[Картинка:sintay.svg|мини|300п|Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на <font color=#333333><math>\sin x</math></font> и развития по Тейлър от степен <font color=#b30000>1</font>, <font color=#00b300>3</font>, <font color=#0000b3>5</font>, <font color=#b3b300>7</font>, <font color=#00b3b3>9</font>, <font color=#b300b3>11</font> и <font color=#888888>13</font>.]] |
[[Картинка:sintay.svg|мини|300п|Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на <font color=#333333><math>\sin x</math></font> и развития по Тейлър от степен <font color=#b30000>1</font>, <font color=#00b300>3</font>, <font color=#0000b3>5</font>, <font color=#b3b300>7</font>, <font color=#00b3b3>9</font>, <font color=#b300b3>11</font> и <font color=#888888>13</font>.]] |
||
'''Ред на Тейлър''' или '''Развитие по Тейлър''' е апроксимация на [[Реално число|реална]] или [[Комплексно число|комплексна]] [[функция]] чрез |
'''Ред на Тейлър''' или '''Развитие по Тейлър''' е апроксимация на [[Реално число|реална]] или [[Комплексно число|комплексна]] [[функция]] чрез представянето й като [[безкраен ред]] с общ член, изчислен от стойностите на [[Производна|производните]] на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на [[Теорема на Тейлър|теоремата на Тейлър]]. |
||
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в [[интервал (математика)|отворения интервал]] (''a'' − ''r'', ''a'' + ''r''), тогава нейното развитие по Тейлър е [[степенен ред|степенният ред]] |
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в [[интервал (математика)|отворения интервал]] (''a'' − ''r'', ''a'' + ''r''), тогава нейното развитие по Тейлър е [[степенен ред|степенният ред]] |
||
Ред 11: | Ред 11: | ||
''(Тук f<sup>(''n'')</sup>(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция)'' |
''(Тук f<sup>(''n'')</sup>(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция)'' |
||
Редът е кръстен на [[Англия|английския]] [[математик]] [[Брук Тейлър]]. В случаите когато ''a'' = 0, редът |
Редът е кръстен на [[Англия|английския]] [[математик]] [[Брук Тейлър]]. В случаите, когато ''a'' = 0, редът се нарича '''ред на Маклорен''' по името на [[Шотландия|шотландския]] математик [[Колин Маклорен]] (Colin Maclaurin). |
||
Функции които са точно равни на развитието си по Тейлър в произволна точка ''a'' се наричат [[аналитични функции]]. Пример за такива са [[Тригонометрична функция|тригонометричните функции]] [[синус]] и [[косинус]]. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се |
Функции, които са точно равни на развитието си по Тейлър в произволна точка ''a'', се наричат [[аналитични функции]]. Пример за такива са [[Тригонометрична функция|тригонометричните функции]] [[синус]] и [[косинус]]. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките й производни в дадена точка. |
||
На графиката |
На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър на sin ''x''. Жълтата крива е от седма степен и е графика на |
||
:<math>\sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}. </math> |
:<math>\sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}. </math> |
||
Редът на Tейлър се използва широко в [[приложна математика|приложната математика]] и [[математически анализ| |
Редът на Tейлър се използва широко в [[приложна математика|приложната математика]] и [[математически анализ|математическия анализ]]. Някои от приложенията му са: |
||
* Директно получаване на приблизителна стойност на функция |
* Директно получаване на приблизителна стойност на функция. |
||
* Доказателство на теореми от математическия анализ |
* Доказателство на теореми от математическия анализ. |
||
==История== |
==История== |
||
Най-ранните ползвания на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, са от XIV век, от [[Индия|индийския]] математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за [[синус]], [[косинус]], [[тангенс]] и [[аркустангенс]], но не генерализира редовете. |
Най-ранните ползвания на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, са от XIV век, от [[Индия|индийския]] математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за [[синус]], [[косинус]], [[тангенс]] и [[аркустангенс]], но не генерализира редовете. |
||
В края на XVII век [[Джеймс Грегъри]] също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но също не вижда обобщението |
В края на XVII век [[Джеймс Грегъри]] също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но също не вижда обобщението. |
||
През [[1715]] [[Брук Тейлър]] |
През [[1715]] [[Брук Тейлър]] доказва и генреализира [[Теорема на Тейлър|теоремата си]], пряко следствие на която е този обобщен ред. |
||
[[Колин Маклорен]] изследва специалния случай във втората половина на XVII век. |
|||
==Развитие на някои прости функции== |
==Развитие на някои прости функции== |
||
* [[Експоненциална функция]] и [[ |
* [[Експоненциална функция]] и [[естествен логаритъм]]: |
||
:<math>\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad,\forall x</math> |
:<math>\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad,\forall x</math> |
||
Ред 114: | Ред 114: | ||
[[tr:Taylor serisi]] |
[[tr:Taylor serisi]] |
||
[[zh:泰勒级数]] |
[[zh:泰勒级数]] |
||
„текст в кавички“ |
Версия от 08:54, 7 март 2008
Ред на Тейлър или Развитие по Тейлър е апроксимация на реална или комплексна функция чрез представянето й като безкраен ред с общ член, изчислен от стойностите на производните на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на теоремата на Тейлър.
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в отворения интервал (a − r, a + r), тогава нейното развитие по Тейлър е степенният ред
(Тук f(n)(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция)
Редът е кръстен на английския математик Брук Тейлър. В случаите, когато a = 0, редът се нарича ред на Маклорен по името на шотландския математик Колин Маклорен (Colin Maclaurin).
Функции, които са точно равни на развитието си по Тейлър в произволна точка a, се наричат аналитични функции. Пример за такива са тригонометричните функции синус и косинус. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките й производни в дадена точка.
На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър на sin x. Жълтата крива е от седма степен и е графика на
Редът на Tейлър се използва широко в приложната математика и математическия анализ. Някои от приложенията му са:
- Директно получаване на приблизителна стойност на функция.
- Доказателство на теореми от математическия анализ.
История
Най-ранните ползвания на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, са от XIV век, от индийския математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за синус, косинус, тангенс и аркустангенс, но не генерализира редовете.
В края на XVII век Джеймс Грегъри също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но също не вижда обобщението.
През 1715 Брук Тейлър доказва и генреализира теоремата си, пряко следствие на която е този обобщен ред.
Колин Маклорен изследва специалния случай във втората половина на XVII век.
Развитие на някои прости функции
- където B са числа на Бернули.
- където E са числа на Ойлер
Изчисляване
Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за голям брой функции. Редът може да се ползва както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи е най-доброто решение е редът да се интегрира няколко пъти по части.
Вижте също
Външни препратки
- Ред на тейлър в MathWorld
- История на Мадхава Сангамаграма
- Значение на реда на Тейлър
- Графична визуализация на редове на Тейлър
„текст в кавички“