Булева алгебра

Булевата алгебра е специална алгебрична структура, която съдържа логичните оператори И, ИЛИ, НЕ, както и множествените функции сечение, обединение, допълнение. Тя е дефинирана за първи път от Джордж Бул в 19 век с цел да се използват алгебрични методи в логиката. Операторите се срещат често написани по различен начин, напр. И, ИЛИ, НЕ (англ. AND, OR, NOT); ∧, ∨, ¬; математиците често използват + за ИЛИ, · за И и черта над символа за НЕ.

Тук ще използваме ∧, ∨ и ¬.

Дефиниция

Булева алгебра е множество S с дефинирани функции Λ(конюнкция И), V (дизюнкция ИЛИ) и ¬ (отрицание НЕ).

Булева алгебра с два елемента X1 X2

Булевата алгебра (или алгебра на съжденията) получава името си от ирландския математик Джордж Бул(1815-1864), който е неин основоположник. Теорията се базира на действия над "съждения", които се интерпретират само или като верни или като неверни.

Съждението

    „2 по 2 е равно на четири" е истинно. В булевата алгебра се отбелязва, че верността му е 1.

Съждението

   „Желязото е карбонат“ е лъжовно.В булевата алгебра се отбелязва, че верността му е 0.

При съставянето на сложни съждения се използват логическите операции „и“(конюнкция),„или“(дизюнкция),„не“(отрицание),„следва“(импликация). Най-висок приоритет има отрицанието, следвано от конюнкцията и дизюнкцията.

Изразите в тази алгебра се наричат булеви изрази.

. Oперациитe са дефинират, както следва:

конюнкция Λ 0 1 0 0 0 1 0 1

дизюнкция v 0 1 0 0 1 1 1 1

отрицание   ¬ 0 1 1 0

импликация –> 0 1 0 1 1 1 0 1

Тази алгебра намира приложение в логиката, където 0 се интерпретира като „невярно“, а 1 като „вярно“. Изрази в тази алгебра се наричат булеви изрази.

Λ