Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Разлика между версии

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
мРедакция без резюме
SieBot (беседа | приноси)
м Робот Добавяне: fi:Bolzanon–Weierstassin lause
Ред 21: Ред 21:
[[en:Bolzano–Weierstrass theorem]]
[[en:Bolzano–Weierstrass theorem]]
[[es:Teorema de Weierstrass]]
[[es:Teorema de Weierstrass]]
[[fi:Bolzanon–Weierstassin lause]]
[[fr:Théorème de Bolzano-Weierstrass]]
[[fr:Théorème de Bolzano-Weierstrass]]
[[gl:Teorema de Weierstrass]]
[[gl:Teorema de Weierstrass]]

Версия от 04:42, 22 март 2008

Теоремата на Болцано - Вайерщрас (за безкрайните редици) гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица притежава сходяща подредица.

Доказателство

Нека и Ако има точка на сгъстяване , то очевидно .

Да допуснем, че няма точка на сгъстяване. Тогава околност на , такава че съдържа само краен брой членове на .

Тогава обединението е покритие на интервала . От теоремата на Хайне - Борел следва, че има крайно подпокритие , състоящо се от краен брой интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на . Но има безбройно много членове в интервала , което е противоречие и следователно има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.

Тази теорема е доказана от чехския математик Больцано през 1817 г., а по-късно независимо от него е получена от Вайерщрас. Тя е една от основните теореми в математическия анализ.