Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Разлика между версии
мРедакция без резюме |
м Робот Добавяне: fi:Bolzanon–Weierstassin lause |
||
Ред 21: | Ред 21: | ||
[[en:Bolzano–Weierstrass theorem]] |
[[en:Bolzano–Weierstrass theorem]] |
||
[[es:Teorema de Weierstrass]] |
[[es:Teorema de Weierstrass]] |
||
[[fi:Bolzanon–Weierstassin lause]] |
|||
[[fr:Théorème de Bolzano-Weierstrass]] |
[[fr:Théorème de Bolzano-Weierstrass]] |
||
[[gl:Teorema de Weierstrass]] |
[[gl:Teorema de Weierstrass]] |
Версия от 04:42, 22 март 2008
Теоремата на Болцано - Вайерщрас (за безкрайните редици) гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица притежава сходяща подредица.
Доказателство
Нека и Ако има точка на сгъстяване , то очевидно .
Да допуснем, че няма точка на сгъстяване. Тогава околност на , такава че съдържа само краен брой членове на .
Тогава обединението е покритие на интервала . От теоремата на Хайне - Борел следва, че има крайно подпокритие , състоящо се от краен брой интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на . Но има безбройно много членове в интервала , което е противоречие и следователно има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.
Тази теорема е доказана от чехския математик Больцано през 1817 г., а по-късно независимо от него е получена от Вайерщрас. Тя е една от основните теореми в математическия анализ.