Конично сечение: Разлика между версии

Изтрито е съдържание Добавено е съдържание

Линейно

Версия от 10:11, 6 октомври 2008

Конично сечение в математиката е алгебрична крива от втора степен, която може да се получи от сечението на правилна конична повърхнина с равнина. Видовете конични сечения са били известни още на древните гърци; получават имената си от Аполоний Пергски, който систематично да изследвал свойствата им.

Геометрично представяне

Три са видовете конични сечения:

елипса — затворена крива с два фокуса. Частен случай е окръжността, която се получава при пресичане на прав кръгов конус с равнина, перпендикулярна на оста му.
парабола — отворена крива с един фокус. Получава се при пресичане на конуса с равнина, успоредна на образувателната му.
хипербола — отворена крива, състояща се от два клона, има два фокуса. Представлява сечение на двата ръкава на конуса с равнина, която не е успоредна на негова образувателна.

Думите „елипса“, „парабола“ и „хипербола“ произхождат от гръцки език и означават съответно „недостиг“ (έλλειψη), „прилагане“ (παραβαλη) и „излишък“ (ὑπερβολή). Въведени са от Аполоний във връзка с дефинираната от него процедура „прилагане“ за построяване на правоъгълник с дадена основа, равнолицев с друг даден правоъгълник.^[1]

В случаите когато равнината минава през върха на коничната повърхнина, се наблюдават различни изродени случаи на конични сечения:

права линия — когато равнината допира коничната равнина и сечението на двете представлява образувателна на конуса.
двойка пресечни прави — когато равнината сече конуса под по-малък ъгъл, от този между образувателната и оста на ротация.
точка — когато равнината сече конуса под по-голям ъгъл.

Аналитично представяне. Представяне като геометрично място на точки

Друг начин за дефиниране на коничните сечения е посредством точка и права.^[2] Нека F е фиксирана точка в равнината, а d - права, неминаваща през F. Нека М е произволна точка и за нея разгледаме разстоянията MF и MM' до правата d (където $\textstyle {M'\in d,MM'\perp d}$ ) и по-специално тяхното отношение: ${\frac {\mid MF\mid }{\mid MM'\mid }}=e$ , наречено ексцентрицитет.

Множеството от точки М в равнината, за които така определеният ексцентрицитет е постоянно число, се нарича конично сечение, точка F — фокус, а правата d — директриса.

Нека е въведена декартова координатна система $O\xi \eta$ , такава че $O\eta$ съвпада с правата d, оста $O\xi$ минава през F. В така подбраната координатна система правата d има уравнение $\xi =0$ , а F има координати (p, 0), където p е разстоянието от фокуса F до директрисата d. Така от дефиниционното равенство ${\frac {\mid MF\mid }{\mid MM'\mid }}=e$ следва, че $\displaystyle {(\xi -p)^{2}+\eta ^{2}=e^{2}\xi ^{2}}$ , което след преобразувание приема вида:

\displaystyle {(1-e^{2})\xi ^{2}+\eta ^{2}-2p\xi +p^{2}=0}

, което е уравнение от втора степен на двете неизвестни

\xi ,\eta

.

Двата основни случая се определят в зависимост от това дали коефициентът пред $\xi ^{2}$ се нулира или не, т.е. в зависимост от това дали ексцентрицитетът е равен на или различен от 1.

При $e=1$ , уравнението приема вида $\displaystyle {\eta ^{2}-2p\xi +p^{2}=0}$ , което след полагането $\displaystyle {\xi =x+{\frac {p}{2}},\eta =y}$ а оттам след обратно преобразувание се получава и каноничното уравнение на параболата: $\displaystyle {y^{2}=2px}$
Оттук и дефиницията на параболата като геометричното място на точки, които са равноотдалечени от точка и права.^[3]
Нека $e\neq 1$ $e\neq 1$ . С полагането на $\displaystyle {\xi =x+\alpha ,\eta =y}$ $\displaystyle {\xi =x+\alpha ,\eta =y}$ се прави транслация на координатната система, където $\alpha$ $\alpha$ е неизвестната величина, която подлежи на определяне. След заместването и елементарни преобразувания, следва че $\displaystyle {2\alpha (1-e^{2})-2p=0}$ $\displaystyle {2\alpha (1-e^{2})-2p=0}$ , оттук $\alpha ={\frac {p}{1-e^{2}}}$ $\alpha ={\frac {p}{1-e^{2}}}$ и $(1-e^{2})x^{2}+y^{2}={\frac {p^{2}e^{2}}{1-e^{2}}}$ $(1-e^{2})x^{2}+y^{2}={\frac {p^{2}e^{2}}{1-e^{2}}}$ . Оттук насетне има два случая, в зависимост от е.
1. При $e<1,1-e^{2}>0$ и като разделим на ${\frac {p^{2}e^{2}}{1-e^{2}}}$ , при полагане на $a={\frac {pe}{1-e^{2}}},b={\frac {pe}{\sqrt {1-e^{2}}}}$ получаваме, че ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ , което се нарича канонично уравнение на елипсата.
  Елипсата се определя и като геометричното място от точки, за които сумата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция).^[3]
2. При $e>1,{\frac {p^{2}e^{2}}{e^{2}-1}}>0$ и като разделим на ${\frac {p^{2}e^{2}}{e^{2}-1}}$ , при полагане на $a={\frac {pe}{e^{2}-1}},b={\frac {pe}{\sqrt {e^{2}-1}}}$ получаваме, че ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ , което се нарича канонично уравнение на хиперболата.
  Хиперболата се определя и като геометричното място от точки, за които абсолютната стойност на разликата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция). ^[3]

И така, трите вида конични сечения се получават в зависимост от стойността на ексцентрицитета, като:

при $e<1$ коничното сечение е елипса, има два фокуса и две директриси,
при $e=1$ коничното сечение е парабола, има един фокус и една директриса,
при $e>1$ коничното сечение е хипербола, има два фокуса и две директриси.

Свойства

Всяко конично сечение е симетрично спрямо права, минаваща през фокуса и перпендикулярна на директрисата.

История

Коничните сечения са били изследвани от много математици на древността.

Учителят на Александър Македонски, Менехъм, открива около 340 г.пр.н.е., че трите криви са сечения на равнина с конус. В негова чест Ератостен ги нарича „триада на Менехъм“. По времето на Менехъм и Ератостен известният начин за построяване на елипсата, параболата и хиперболата бил като към три различни конуса, наричани съответно „остроъгълен“, „правоъгълен“ и „тъпоъгълен“, се пуска секуща равнина, перпендикулярна на техните образувателни.

Около 225 г. Аполоний Пергски построява трите криви, като фиксира конуса, а пуска секущата равнина под различни към него ъгли.^[4]

През 17 век коничните сечения биват описани в декартови координати от Джон Уолис и Ян де Вит, който дава и определенията на термините директриса и фокус на конично сечение.^[5]

Методи и инструменти за чертане

Шаблон:Раздел мъниче Първите инструменти за изчертаване на елипси вероятно са изобретени от Прокъл и Исидор Милетски през 5 - 4 в.пр.н.е.^[4] Представлявали са проста конструкция с конец, която работи на принципа на бифокалната дефиниция на елипсата.

Друг метод за изчертаване на елипси е наречен по името на Архимед. При него се взима отсечка АС, върху която се отбелязва точка В. Когато точките А и В се движат съответно по две пресичащи се прави оси, „пишещият“ елемент в точка С изчертава елипса.

Приложения

Приложение коничните сечения имат в астрономията: те участват в математическия апарат, с който Кеплер и Исак Нютон описват движението на планетите. Кеплер формулира закона, че планетите се движат по елипсовидна орбита, в единия фокус на която се намира Слънцето. По-общо, всички небесни тела, които се намират под въздействието на слънчевата гравитация и върху които не оказват влияние други сили, се движат по орбита с форма на някое конично сечение, за което Слънцето е фокус. Непериодичните комети се движат по парабола и хипербола, а периодичните — по силно издължени елипси.^[6]

Източници

↑ "Лексикон Математика", изд. Абагар, Холдинг, София, 1995
↑ „Линейна алгебра и аналитична геометрия“, М. Гаврилов, Г. Станилов, Софтех, София, 1998
↑ ^а ^б ^в Справочник по висша математика, Георги Каменаров, Издателство „Техника“, 1994
↑ ^а ^б "Математически термини", Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984
↑ Шаблон:En икона "The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989
↑ Информация за коничните сечения // PlanetMath.org. Посетен на 17/05/2007. (Грешка в записа: Неразпознат езиков код английски)

Външни препратки

Общомедия

Общомедия разполага с мултимедийно съдържание за

Конично сечение.

Шаблон:En икона Интерактивни визуализации на Java на методи за построение на конични сечения (елипса, парабола и хипербола с линийка и пергел, елипсографи на Архимед и ван Схоотен и др.
Daina Taimina. Historical Mechanisms for Drawing Curves (PDF) // Cornell University. Посетен на 20/05/2007. (Грешка в записа: Неразпознат езиков код английски)

[1] "Лексикон Математика", изд. Абагар, Холдинг, София, 1995

[2] „Линейна алгебра и аналитична геометрия“, М. Гаврилов, Г. Станилов, Софтех, София, 1998

[kamenarov-3] а ^б ^в Справочник по висша математика, Георги Каменаров, Издателство „Техника“, 1994

[matterm-4] а ^б "Математически термини", Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984

[5] Шаблон:En икона "The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989

[6] Информация за коничните сечения // PlanetMath.org. Посетен на 17/05/2007. (Грешка в записа: Неразпознат езиков код английски)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Ред 24: / Ред 24: @@
 Двата основни случая се определят в зависимост от това дали коефициентът пред <math>\xi^2</math> се [[нула|нулира]] или не, т.е. в зависимост от това дали ексцентрицитетът е равен на или различен от 1.
-# При <math> e = 1 </math>, уравнението приема вида <math>\displaystyle{\eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}</math>, което след полагането <math> \displaystyle{\xi = x + \lambda , \eta = y}</math> а оттам след обратно преобразувание се получава и каноничното уравнение на параболата: <math> \displaystyle{y^2 = 2px}</math> <br /> Оттук и дефиницията на параболата като геометричното място на точки, които са равноотдалечени от точка и права.<ref name="kamenarov">''Справочник по висша математика'', Георги Каменаров, Издателство „Техника“, 1994</ref>
+# При <math> e = 1 </math>, уравнението приема вида <math>\displaystyle{\eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}</math>, което след полагането <math> \displaystyle{\xi = x + \frac{p}{2}, \eta = y}</math> а оттам след обратно преобразувание се получава и каноничното уравнение на параболата: <math> \displaystyle{y^2 = 2px}</math> <br /> Оттук и дефиницията на параболата като геометричното място на точки, които са равноотдалечени от точка и права.<ref name="kamenarov">''Справочник по висша математика'', Георги Каменаров, Издателство „Техника“, 1994</ref>
 # Нека <math> e \ne 1</math>. С полагането на <math> \displaystyle{\xi = x + \alpha , \eta = y}</math> се прави [[транслация]] на координатната система, където <math>\alpha </math> е неизвестната величина, която подлежи на определяне. След заместването и елементарни преобразувания, следва че <math>\displaystyle{2 \alpha(1 - e^2) - 2p = 0}</math>, оттук <math>\alpha = \frac{p}{1 - e^2}</math> и <math>(1-e^2)x^2 + y^2 = \frac{p^2e^2}{1 - e^2}</math>. Оттук насетне има два случая, в зависимост от ''е''.
 ## При <math>e < 1 , 1 - e^2 > 0 </math> и като разделим на <math>\frac{p^2e^2}{1 - e^2}</math>, при полагане на <math>a = \frac{pe}{1 - e^2} , b = \frac{pe}{\sqrt{1 - e^2}}</math> получаваме, че <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>, което се нарича ''канонично уравнение на елипсата''. <br /> Елипсата се определя и като геометричното място от точки, за които сумата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция).<ref name="kamenarov" />