Формула на Ойлер: Разлика между версии
м Робот Промяна: fa:فرمول اولر |
м Робот Добавяне: bs:Eulerova formula |
||
Ред 73: | Ред 73: | ||
[[af:Euler se formule]] |
[[af:Euler se formule]] |
||
[[ar:صيغة أويلر]] |
[[ar:صيغة أويلر]] |
||
[[bs:Eulerova formula]] |
|||
[[ca:Fórmula d'Euler]] |
[[ca:Fórmula d'Euler]] |
||
[[cs:Eulerův vzorec]] |
[[cs:Eulerův vzorec]] |
Версия от 21:52, 9 януари 2009
Формулата на Ойлер е математическа формула от областта на комплексния анализ, показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.
Формулата на Ойлер гласи че за всяко реално число :
- където: е - основа на натуралния логаритъм,
- i - имагинерна единица,
- и са тригонометрични функции.
Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер "скъпоценен камък" и "най-важната формула" в цялата математика (Feynman, p. 22-10).
Графика, показваща взаимовръзката между , и комплексната експоненциална функция. Ако искаме да обясним формилата на Ойлер с най-прости думи, това е равносилно на ротация на единичен вектор на ъгъл .
Извод
Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини, но един от най-елегантните изводи прибягва до помощта на комплексен интеграл. Нека z е комплексно число с модул единица в тригонометричен вид
- .
След диференциране и преобразуване, получаваме
където А е произволна константа, която се определя със следното съображение:
и оттук
- .
Тъждество на Ойлер
В частния случай, когато
получаваме
Доколкото
и
следва
а оттук и
което е и прочутото тъждество на Ойлер. По същия начин, когато аргументът е равен на получаваме
друга многозначителна математическа зависимост, свързана с имагинерната единица.