Формула на Ойлер

Формулата на Ойлер е математическа формула от областта на комплексния анализ, показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.

Формулата на Ойлер гласи че за всяко реално число $\varphi$:

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \!$

където: е - основа на натуралния логаритъм,

i - имагинерна единица,

$\sin$ и $\cos$ са тригонометрични функции.

Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер "скъпоценен камък" и "най-важната формула" в цялата математика (Feynman, p. 22-10).

Графика, показваща взаимовръзката между $\sin \varphi$, $\cos \varphi$ и комплексната експоненциална функция. Ако искаме да обясним формилата на Ойлер с най-прости думи, това е равносилно на ротация на единичен вектор на ъгъл $\varphi$.

Извод

Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини, но един от най-елегантните изводи прибягва до помощта на комплексен интеграл. Нека z е комплексно число с модул единица в тригонометричен вид

$z\equiv \cos \varphi +i\sin \varphi \!$.

След диференциране и преобразуване, получаваме

$dz=d(\cos \varphi +i\sin \varphi \!)$

$dz=(-\sin \varphi +i\cos \varphi \!)d\varphi$

$dz=i(i\sin \varphi +\cos \varphi \!)d\varphi$

$dz=i(\cos \varphi +i\sin \varphi \!)d\varphi$

$dz=izd\varphi$

${\frac {dz}{z}}=id\varphi$

$\int {\frac {dz}{z}}=\int id\varphi$

$\ln z=i\varphi +C$

$z=Ae^{i\varphi }$

където А е произволна константа, която се определя със следното съображение:

$z(0)=A=\cos(0)+i\sin(0)=1$

и оттук

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \!$.

Тъждество на Ойлер

В частния случай, когато

$\varphi =\pi \!$

получаваме

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!$

Доколкото

$\cos \pi =-1\,\!$

и

$\sin \pi =0,\,\!$

следва

$e^{i\pi }=-1,\,\!$

а оттук и

$e^{i\pi }+1=0,\,\!$

което е и прочутото тъждество на Ойлер. По същия начин, когато аргументът е равен на ${\frac {\pi }{2}},$ получаваме

$e^{\frac {i\pi }{2}}=i,\!$

друга многозначителна математическа зависимост, свързана с имагинерната единица.