Категория (математика)

Категория е математическа структура, която по определение включва:

А. Два класа от елементи

1. Клас от обекти X;

2. Клас от морфизми (или стрелки) $\phi$, понятие, което идва от комутативните диаграми, където морфизмите се означават със стрелки.

3. Четири оператора:

3.1. Оператор cod, присвояващ на всеки морфизъм $\phi$ обект cod $\phi$, кодомейн на $\phi$, (В някои текстове вместо означението cod се среща означението tgt - target.)

3.2. Оператор dom, присвояващ на всеки морфизъм $\phi$ обект dom $\phi$, домейн на $\phi$ (В някои текстове вместо означението dom се среща означението src - source.)

3.3. Оператор id, присвояващ на всеки обект X морфизъм $1_{X}$, морфизъм на идентичността на X, за който dom $1_{X}$ = cod $1_{X}$ = X,

3.4. Бинарен оператор, наречен композиция, присвояващ на всяка композируема двойка $(\alpha$, $\beta )$, т.е., на всяка двойка морфизми $(\alpha$, $\beta )$ с dom $\beta$ = cod $\alpha$, морфизъм $\beta \circ \alpha$ с

$dom\ \beta \circ \alpha =dom\ \alpha$

$cod\ \beta \circ \alpha =cod\ \beta$

4. Асоциативност на оператора за композиция $\circ$:

Ако f, g и h са морфизми,

$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$.

Това са твърдениета, които формират хипотезата на категорията ${\mathfrak {C}}$.

Морфизмът на идентичност $1_{X}$ за всеки обект X може да бъде анулиран от всяка една композиция в смисъл, че

• за всеки морфизъм $\phi$ с dom $\phi$ = X имаме $\phi \circ 1_{X}=\phi$

• за всеки морфизъм $\psi$ с cod $\psi$ = X имаме $1_{X}\circ \psi =\psi$

Външни препратки

• Кратък увод в представата за категория, илюстриран с прости примери

• Jaap van Oosten, Basic Category Theory, (en)