Хипотеза на Риман

Хипотезата на Риман е известна нерешена задача от алгебричната теория на числата, свързана със свойствата на Римановата ζ-функция и разпределението на простите числа. Хипотезата гласи:

„Реалната част на всяка кратна нула на Римановата дзета-функция е равна на ½“.

Хилберт включва задачата за доказването на Римановата хипотеза в своето изложение за предизвикателствата през математиката на ХХ. век, в което той включва 23 нерешени задачи.

Римановата хипотеза и разпределението на простите числа

Трудно е да се види важността на Римановата хипотеза в нейната класическа формулировка. През 1901, Хелге фон Коф доказва еквивалетността на Римановата хипотеза, и хипотезата, че за всяко ε>0 е вярно твърдението:

$\left|\pi (x)-\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}\right|=O(x^{1/2+\varepsilon }),$

Където функцията π(x) дава броя прости числа, по-малки от x, ln(x) е натуралният логаритъм, а O е функция, която „расте като” $x^{1/2+\varepsilon }$. Лоуел Шьонфелд намира трета еквивалентна формулировка на хипотезата:j

$\left|\pi (x)-\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}\right|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln(x),\qquad \forall x\geq 2657.$

Простите нули на ζ-функцията могат да бъдат разглеждани образи на простите числа в пространството на Фурие, т.е. кратните нули на ζ-функцията могат да бъдат разглеждани като хармонични честоти на функцията, даваща разпределението на простите числа. Шаблон:Математика-мъниче