Ред на Тейлър

Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на $\sin x$ и развития по Тейлър от степен 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.

Ред на Тейлър или Развитие по Тейлър е апроксимация на реална или комплексна функция чрез представянето й като безкраен ред с общ член, изчислен от стойностите на производните на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на теоремата на Тейлър.

Ако функцията е безброй пъти диференцируема в отворения интервал (a − r, a + r), тогава нейното развитие по Тейлър е степенният ред

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.$

(Тук f⁽n)(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция)

Редът е кръстен на английския математик Брук Тейлър. В случаите, когато a = 0, редът се нарича ред на Маклорен по името на шотландския математик Колин Маклорен (Colin Maclaurin).

Функции, които са точно равни на развитието си по Тейлър в произволна точка a, се наричат аналитични функции. Пример за такива са тригонометричните функции синус и косинус. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките й производни в дадена точка.

На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър на sin x. Жълтата крива е от седма степен и е графика на

$\sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.$

Редът на Тейлър се използва широко в приложната математика и математическия анализ. Някои от приложенията му са:

• Директно получаване на приблизителна стойност на функция.
• Доказателство на теореми от математическия анализ.

История

Най-ранните ползвания на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, са от XIV век, от индийския математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за синус, косинус, тангенс и аркустангенс, но не генерализира редовете.

В края на XVII век Джеймс Грегъри също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но също не вижда обобщението.

През 1715 Брук Тейлър доказва и генреализира теоремата си, пряко следствие на която е този обобщен ред.

Колин Маклорен изследва специалния случай във втората половина на XVII век.

Развитие на някои прости функции

• Експоненциална функция и естествен логаритъм:

$\mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad ,\forall x$

$\ln(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}x^{n+1}\quad ,\left|x\right|<1$

• Геометрична прогресия:

${\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad ,\left|x\right|<1$

• Нютонов бином:

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad ,\forall \left|x\right|<1\quad ,\forall \alpha \in C$

• Тригонометрични функции:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad ,\forall x$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\forall x$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+..,\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

където B са числа на Бернули.

$\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

където E са числа на Ойлер

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad ,\left|x\right|<1$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad ,\left|x\right|\leq 1$

• Хиперболични функции:

$\sinh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad ,\forall x$

$\cosh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\forall x$

$\tanh \left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad ,\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\mathrm {arcsinh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad ,\left|x\right|<1$

$\mathrm {arctanh} \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad ,\left|x\right|<1$

Изчисляване

Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за голям брой функции. Редът може да се ползва както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи е най-доброто решение е редът да се интегрира няколко пъти по части.

Вижте също

• Теорема на Тейлър
• Нютонов бином

Външни препратки

• Ред на тейлър в MathWorld
• История на Мадхава Сангамаграма
• Значение на реда на Тейлър
• Графична визуализация на редове на Тейлър