Хилбертово пространство: Разлика между версии
м Robot: en:Hilbert space is a good article |
м r2.7.1) (Робот Добавяне: simple:Hilbert space |
||
Ред 83: | Ред 83: | ||
[[ro:Spațiu Hilbert]] |
[[ro:Spațiu Hilbert]] |
||
[[ru:Гильбертово пространство]] |
[[ru:Гильбертово пространство]] |
||
[[simple:Hilbert space]] |
|||
[[sk:Hilbertov priestor]] |
[[sk:Hilbertov priestor]] |
||
[[sl:Hilbertov prostor]] |
[[sl:Hilbertov prostor]] |
Версия от 19:28, 4 февруари 2012
Тази статия се нуждае от подобрение. Необходимо е: форматиране,препратки,. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, използвайте опцията редактиране в горното меню над статията, за да нанесете нужните корекции. |
Хилбертово пространство е понятие в математиката обобщаващо Евклидовото пространство. Наречено е на Давид Хилберт, който пръв въвежда концепцията за безкрайномерно Евклидово пространство през 1909 г.
Хилбертовото пространство разширява методите на векторната алгебра от двумерната равнина и тримерното пространство към многомерните пространства.
Ако трябва да го дефинираме с по-строги математически термини, Хилбертовото пространство е векторно пространство, в което разстоянията и ъглите могат да бъдат измерени и, което е пълно. Тоест за всяка редица от вектори на Коши съществува граница в пространството.
Пространствата на Хилберт се използват широко в математиката и физиката. Те са изключително важен инструмент в теорията на частните диференциални уравнения, квантовата механика и обработката на сигнали. Благодарение на тази теория бяха достигнати много успехи в областта на функционалния анализ.
Геометрическата интуиция играе важна роля в много от насоките на Хилбертовото пространство. Елемент от Хилбертово пространство може да бъде еднозначно зададен посредством координатите спрямо ортонормирана координатна система, по аналогия с декартовите координати в равнината. Когато базовата координатна система е безкрайна, това означава че Хилбертовото пространство е безкрайна последователност от квадратни суми. Линейните оператори в Хилбертово пространство са съвсем конкретни обекти. В най-добрите случаи те са трансформации, които разширяват пространството с даден фактор във взаимно перпендикулярни посоки.
Дефиниция и примери
Пространство на Хилберт е реално или комплексно векторно пространство, което е пълно и,в което модула се определя от скаларното произведение посредством формулата:
.
Събиране
Две Хилбертови пространства H1 и H2 могат да бъдат комбинирани в едно общо Хилбертово пространство, наричано директна ортогонална сума и обозначавано като:
,
състоящо се от множеството от всички подредени двойки (x1, x2) където xi ∈ Hi, i = 1,2, и скаларното произведение
.
Най-общо ако Hi е фамилия от Хилбертови пространства индексирани по i ∈ I, тогава директната сума от Hi се означава като:
състояща се от множеството от всички индексирани фамилии
от Декартови произведения от Hi, такива че
.
Скаларно произведение се нарича
.
Всяко от пространствата Hi е включено като затворено подпространство в директните суми на всички Hi.
Нещо повече, пространствата Hi са взаимно ортогонални.
Източници