Интерполация

Интерполация в числовия анализ е метод на конструиране на нови числови стойности в област от множество на изолирани точки от известни числови стойности.

В инженерните и други науки може да са налице брой от числови стойности, които са придобити чрез проби или експеримент и да е необходимо да се създаде функция, която много близко да покрива тези стойности. Това се нарича създаване на крива или регресивен анализ. Така че интерполацията е специфичен случай на създаване на крива, при който функцията трябва да мине точно през дадените числови стойности.

Друг вид задача, която се решава с интерполация е апроксимацията (приближаването) на сложна функция до проста функция. Например може да имаме фунция, която е твърде сложна, за да се оцени ефикасно. В този случай може да се изберат някои точки за създаване на таблица и след това от тях да се състави по-опростена функция.

Интерполация на крайно множество от точки като епитрохоид. Точките, през които кривата е прокарана са червени, а сините са тези, които ги свързват чрез интерполация.

Линейна интерполация

Приложена полиномна интерполация към същите стойности

Има и друг вид интерполация в математиката - "интерполация на оператори" като класически резултат от интерполация на оператори са Теорема на Рисц-Торин and the Теорема на Маркинкиевиц, както и много други подрезултати.

С други думи е метод, при който функция, зададена таблично (чрез стойностите в отделни точки), се замества с аналитична функция y=f(x), така че стойностите на функцията f(x) във възлите на интерполиране да бъдат равни на съответните таблични стойности на наблюденията. В геометричен смисъл графиката на f(x) минава през точките на интерполиране в координатната равнина. Според вида на функцията f(x) в участъците между възлите, интерполацията може да бъде линейна, параболична, билинейна, бикубична и други, в зависимост от избраната функция за интерполиране.

Линейна интерполация

Нека функцията, която ще интерполираме, се нарича f(x). Отсечката от тази функция [X₀ ; X₁] се заменя с линейна функция, стойностите на която при X=X₀ и X=X₁ съвпадат със стойностите на дадената функция f(X₀) и f(X₁). Тоест в отрязъка [X₀;X₁] имаме два възела на интерполация X₀ и X₁, а интерполационният многочлен е от първа степен. Означаваме f(X₀)=Y₀, f(X₁)=Y₁, f(X)=Y. Интерполиращата линейна функция се намира, като се напише уравнението на права, минаваща през две точки (X₀,Y₀) и (X₁,Y₁):

$f(x)={\frac {x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}}}y_{0}-{\frac {x-x_{0}}{x_{0}-x_{1}}}y_{1}$ (Лагранж)

което може да се представи също

$f(x)=y_{0}+{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(y_{1}-y_{0})$

Полиномна интерполация

Полиномна интерполация e генерализация на линеарната интерполация. Всъщност линеарната интерполация е линеарна функция и тук заместваме този интерполант с полином от по-висока степен.

Приложение в икономиката

Методът се използва в икономиката при изчисляването на някои оптимизационни задачи, като например намирането на вътрешната норма на възвръщаемост на инвестиция.

Пример: Фирма има възможност да избира между два варианта за инвестиции:

1. Първоначален инвестиционен разход – 20 млн. лева, очаквани нетни парични потоци 4 млн. лева годишно в продължение на четири години.
2. Начална инвестиция – 15 млн. лева, нетни парични потоци по 3,8 млн. лева годишно през следващите пет години.

Кой от двата варианта е по-изгоден за фирмата?

Необходими формули:

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {C_{k}}{(1+R)^{k}}}-C_{0}=0$

$IRR=R_{1}+(R_{2}-R_{1}).{\frac {NPV_{R_{1}}}{NPV_{R_{1}}-NPV_{R_{2}}}}$

$IRR$ – вътрешна норма на възвращаемост

$NPV$ – нетна настояща стойност

$C_{1}...C_{n}$ – очаквани приходи

$C_{0}$ – първоначална инвестиция

$R$ – търсената дискантова ставка, която привежда $NPV$ към нула

Обработка на изображения

Интерполацията е основен метод за увеличение при цифрови изображения. Стойностите на яркостта на всеки пиксел са дискретните стойности, които служат за интерполационни възли.

Литература

• И.И. Поляк, „Численные методы анализа наблюдений“

Вижте още

• Екстраполация
• Метод на крайните елементи