Ред на Тейлър: Разлика между версии
KamikazeBot (беседа | приноси) м r2.7.2) (Робот Добавяне: gl:Serie de Taylor |
м new colors |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
[[Картинка:sintay.svg|мини|300п|Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на <font color=#333333><math>\sin x</math></font> и развития по Тейлър от степен <font color= |
[[Картинка:sintay.svg|мини|300п|Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на <font color=#333333><math>\sin x</math></font> и развития по Тейлър от степен <font color=red>1</font>, <font color=orange>3</font>, <font color=yellow>5</font>, <font color=green>7</font>, <font color=blue>9</font>, <font color=indigo>11</font> и <font color=violet>13</font>.]] |
||
'''Ред на Тейлър''' или '''Развитие по Тейлър''' е [[апроксимация]] на [[Реално число|реална]] или [[Комплексно число|комплексна]] [[функция]] чрез представянето й като [[безкраен ред]] с общ член, изчислен от стойностите на [[Производна|производните]] на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на [[Теорема на Тейлър|теоремата на Тейлър]]. |
'''Ред на Тейлър''' или '''Развитие по Тейлър''' е [[апроксимация]] на [[Реално число|реална]] или [[Комплексно число|комплексна]] [[функция]] чрез представянето й като [[безкраен ред]] с общ член, изчислен от стойностите на [[Производна|производните]] на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на [[Теорема на Тейлър|теоремата на Тейлър]]. |
Версия от 21:19, 27 януари 2013
Ред на Тейлър или Развитие по Тейлър е апроксимация на реална или комплексна функция чрез представянето й като безкраен ред с общ член, изчислен от стойностите на производните на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на теоремата на Тейлър.
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в отворения интервал (a − r, a + r), тогава нейното развитие по Тейлър е степенният ред
(Тук f(n)(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция)
Редът е кръстен на английския математик Брук Тейлър. В случаите, когато a = 0, редът се нарича ред на Маклорен по името на шотландския математик Колин Маклорен (Colin Maclaurin).
Функции, които са точно равни на развитието си по Тейлър в произволна точка a, се наричат аналитични функции. Пример за такива са тригонометричните функции синус и косинус. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките й производни в дадена точка.
На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър на sin x. Жълтата крива е от седма степен и е графика на
Редът на Тейлър се използва широко в приложната математика и математическия анализ. Някои от приложенията му са:
- Директно получаване на приблизителна стойност на функция.
- Доказателство на теореми от математическия анализ.
История
Най-ранните ползвания на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, са от XIV век, от индийския математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за синус, косинус, тангенс и аркустангенс, но не генерализира редовете.
В края на XVII век Джеймс Грегъри също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но също не вижда обобщението.
През 1715 Брук Тейлър доказва и генреализира теоремата си, пряко следствие на която е този обобщен ред.
Колин Маклорен изследва специалния случай във втората половина на XVII век.
Развитие на някои прости функции
- където B са числа на Бернули.
- където E са числа на Ойлер
Изчисляване
Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за голям брой функции. Редът може да се ползва както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи е най-доброто решение е редът да се интегрира няколко пъти по части.