Квантова механика

Серия статии на тема Квантова механика

${\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi \rangle$  $\Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}$ Основни понятия Вълнова функция ⋅ Квантово състояние ⋅ Квантово заплитане ⋅ Съотношение на неопределеност на Хайзенберг ⋅ Корпускулярно-вълнов дуализъм ⋅ Принцип на Паули ⋅ Принцип на съответствието ⋅ Константа на Планк ⋅ Квант ⋅ Тунелен преход ⋅ Квантова суперпозиция Теории Уравнение на Шрьодингер ⋅ Квантова електродинамика ⋅ Квантова теория на полето ⋅ Диаграми на Файнман Експерименти Котка на Шрьодингер ⋅ Парадокс на Айнщайн-Подолски-Розен ⋅ Квантова телепортация ⋅ Фотоелектричен ефект Статистики Статистика на Максуел-Болцман ⋅ Статистика на Ферми-Дирак ⋅ Статистика на Бозе-Айнщайн Физици Макс Планк · Луи дьо Бройл · Ервин Шрьодингер · Вернер Хайзенберг · Нилс Бор · Волфганг Паули · Макс Борн · Пол Дирак · Джон фон Нойман · Алберт Айнщайн · Дейвид Бом · Ричард Файнман · Хю Еверет · Юджин Уигнър

Квантовата механика е фундаментална физична теория, раздел от теоретичната физика, описващ поведението на елементарните частици и физичните явления, съпоставими по големина с константата на Планк. При тях тя замества класическата механика на Нютон и теорията на електромагнетизма, защото те не обясняват адекватно наблюдаваните явления на атомно и субатомно ниво и предсказанията им се отличават съществено от предсказанията на квантовата механика. Квантовите ефекти като правило се наблюдават само при микроскопични мащаби, докато класическата механика е валидна при макроскопични мащаби. Квантовата механика адекватно и успешно описва основните свойства и поведение на атоми, молекули, йони и кондензирани среди и дори на електрони и фотони. На свой ред квантовата механика представлява нерелативистко приближение на квантовата теория на полето.

Едни от основните понятия в квантовата механика се явяват състояние, уравнение на Шрьодингер, уравнение на фон Нойман, уравнение на Хайзенберг и уравнение на Паули. Те са свързани с различни раздели на математиката като теория на вероятностите, функционален анализ, векторен анализ, теория на групите и други.

Математическата функция, наречена на вълнова функция предоставя информация за амплитудната вероятност на позицията, скоростта, и други физични свойства на частиците. Математически манипулации на вълновата функция обикновено изискват разбиране на комплексните числа и линейните функционали. Тази функция третира обекта като квантов хармоничен осцилатор, а математически е равносилно на описанието на акустичен резонанс. Квантовата механика дава възможност за много по-динамични, хаотични възможности, според Джон Уилър.

Най-ранните версии на квантовата механика са формулирани през първото десетилетие на 20-ти век. По същото време, атомната теория и корпускулярната теория на светлината (актуализирани от Айнщайн) за пръв път са широко приети като научен факт. Основите на квантовата теория са значително преформулирани в средата на 1920 година от Вернер Хайзенберг, Макс Борн, Волфганг Паули и техните сътрудници, и тълкуването на Нилс Бор в Копенхаген стана широко прието. До 1930 г. квантовата механика се обогатява допълнително с работите на Пол Дирак и Джон фон Нойман, като се акцентира на измерването, статистическия характер на нашето знание за реалността и философските спекулации за ролята на наблюдателя. В средата и края на 20 век се появяват много повече дисциплини като квантова химия, квантова електроника, квантова оптика и други.

История

Солвеевската конференция в Брюксел, 1927 г.

Историята на квантовата механика води началото си още от 1838 година, когато Майкъл Фарадей открива катодните лъчи. Следват няколко важни открития, които формират основите на квантовата механика. През 1859 година Густав Кирхоф формулира законите за излъчване на абсолютно черно тяло; през 1877 Лудвиг Болцман изказва предположението, че енергийните нива на дадена физична система могат да бъдат дискретни; през 1887 година Хайнрих Херц открива фотоелектричния ефект и последно, през 1900 година Макс Планк формулира квантовата хипотеза, че всяка енергия може да се поглъща или отделя само във вид на малки порции, наречени кванти, имащи енергия ε, пропорционална на честотата ν с коефициент на пропорционалност, определен по следната формула:

$\varepsilon =h\nu \$

където $h=6{,}6261\cdot 10^{-34}\mathrm {Js}$ е константата на Планк.

Според самия Планк, уравнението е само един аспект на поглъщането и излъчването на лъчения, и няма общо с физическата представа и действителност на самата енергия. Малко по-късно, през 1905 година, изследвайки фотоелектричния ефект, открит от Херц преди това, Алберт Айнщайн стига до извода в съответствие с квантовата хипотеза, че светлината представлява поток от отделни кванти, които впоследствие, в 1926 година са наречени фотони. Фотоелектричният ефект се наблюдава при осветяване (с определена дължина на вълната) на някои материали, като метали, когато електрони напускат материала, само ако светлинната квантова енергия е по-голяма от работата функция (ниво на Ферми) на метала. Терминът квантова механика е използван за първи път от Макс Борн през 1924 година в неговия труд Zur Quantenmechanik.

Други експерименти от началото на века доказват, че класическата механика и класическата електродинамика не са в състояние да обяснят свойствата на атомите, молекулите и елементарните частици - електрони, протони, неутрони и взаимодействието им с електромагнитното излъчване. Например при опитите на Франк и Херц (1913 г.) енергията, която характеризира състоянието на отделните атоми, има дискретен спектър, т.е. атомите могат да имат не всички, а само определени стойности на енергията. Съгласно експеримента на Щерн-Герлах (1922 г.) дискретни стойности притежават и величините магнитен момент и момент на импулса на атомите.

10 от най-влиятелните фигури в историята на квантовата механика. От ляво на дясно: Макс Планк, Алберт Айнщайн, Нилс Бор, Луи дьо Бройл, Макс Борн, Пол Дирак, Вернер Хайзенберг, Волфганг Паули, Ервин Шрьодингер и Ричард Файнман

Основите на квантовата механика са положени през първата половина на 20-ти век от Макс Планк, Нилс Бор, Вернер Хайзенберг, Луи дьо Бройл, Комптън, Алберт Айнщайн, Ервин Шрьодингер, Макс Борн, Джон фон Нойман, Пол Дирак, Енрико Ферми, Волфганг Паули, Давид Хилберт, Вилхелм Вин, Сатиендра Нат Бозе, Арнолд Зомерфелд и др. В средата на 20-те години на 20-ти век, развитието на квантовата механика довежда до превръщането му в стандартна форма за атомната физика. През лятото на 1925 г. Бор и Хайзенберг публикуват резултати, които затворят „Старата квантова теория“. От простия постулат на Айнщайн (за който той получава и Нобелова награда) се раждат вълнения, дебати, теоретизиране и експерименти, в резултат на което възниква нова област във физиката, а именно квантовата физика. Нейното по-широко приемане се осъщесгвява на Петата конференция във Солвей през 1927 г.

Другата насока, която води до квантовата механика е изучаването на електромагнитните вълни, като например видимата светлина. Когато е установено през 1900 г. от Макс Планк, че енергията на вълните може да бъде описана като състояща се от малки пакети или кванти, Алберт Айнщайн доразвива тази идея, за да покаже, че една електромагнитна вълна като светлината може да бъде описана като частица (по-късно наречена фотон) с дискретна квантова енергия, която зависи от честотата. Това води до обединена теория между субатомните частици и електромагнитните вълни, наречена корпускулярно-вълнов дуализъм, при което частиците и вълните са нито едното, нито другото, но имат някои свойства и от двете системи.

За да обясни структурата на атома, Нилс Бор предлага през 1913 г. съществуването на стационарни състояния на електрона, в които енергията може да заема само дискретни стойности. Този подход, разработен от Арнолд Зомерфелд и други физици, често се споменава като старата квантова теория (1900-1924 г). Отличителна черта на старата квантовата теория е съчетанието на класическата теория с противороречащи допълнителни допускания.

През 1923 г. Луи дьо Бройл предлага идеята за двойствената природа на материята въз основа на предположението, че материалните частици имат и вълнови свойства, неразривно свързани с масата и енергията. Движението на частицата дьо Бройл описва с разпространение на вълна, което през 1927 г. получава експериментално потвърждение в опитите на дифракция на електрони в кристали.

Тази идея е взета през 1926 г. от Шрьодингер, който на нейна основа развива вълновата механика. Датата 29 юли 1925 г. се смята за рожденния ден на релативистката квантова механика. Съотношението на Хайзенберг може да се интерпретира най-просто така — в една система можем да определим или координатите на една частица, или нейната скорост, но не и двете едновременно, като в частност това важи за атома — ние описваме не къде, а с каква вероятност може да се намира електрона в една пространствена област около ядрото, като точно тази пространствена област наричаме „електронен облак“ (тоест не можем да определим добре координатите на електрона), и можем добре да определим неговата скорост (тоест от двете — координати или скорост ние можем да определим скорост).

Изводът е, че ако се опитаме да премахнем неопределеността в координатите на електрона, то увеличаваме неопределеността на неговия импулс. Оказва се, че произведението на тези две неопределености не може да е по-малко от определена величина, наречена константа на Планк. С аналогично съотношение са свързани и някои други характеристики на микрочастиците. Такива характеристики на частиците се наричат спрегнати.

Математическият израз на този феномен се нарича съотношение на неопределеност и е формулиран през 1926 година от Вернер Хайзенберг. (Среща се и като съотношение на Хайзенберг–Робъртсън.)

$\Delta x\cdot \Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}={\frac {\hbar }{2}}$

където:

$h=6{,}6261\cdot 10^{-34}\mathrm {Js}$ е константата на Планк;

$\hbar ={h \over {2\pi }}$ е константа на Дирак и

$\pi$ е числото пи - отношението на дължината на окръжността към диаметъра.

Съотношението на неопределеност е най-известният представител от групата на функции на неопределеност, които са в основата на модерната физика.

Развитието и формирането на основите на квантовата механика все още продължава. То е свързано например с проучвания на отворени и дисипативни квантови системи, квантова информация, квантов хаос и т.н. В допълнение, най-важната част на квантовата теория е квантовата теория на полето.

Потвърждението на хипотезата на дьо Бройл е повратна точка в развитието на квантовата механика. Точно както ефектът на Комптън показва корпускулярната природа на светлината, експериментът на Клинтън Дейвисън - Лестър Джърмър потвърждава неделимото съвместно съществуване с вълна, с други думи - присъщата на корпускулярната материя и характеристика на вълна. Така се формира корпускулярно-вълновият дуализъм.

Някои основни понятия

Наблюдение на микрочастиците (ефект на наблюдателя)

Теоретичната основа на концепцията за измерването в квантовата механика е спорен въпрос, дълбоко свързан с много интерпретации на квантовата механика. Всяко взаимодействие, следователно и наблюдаването, въздейства върху наблюдаемия обект, променя свойствата му. Не е възможно това въздействие да се направи пренебрежимо малко. Основната тема е тази на колапса на вълновата функция, за която някои интерпретации твърдят, че самото наблюдение променя като цяло нестационарни състояния в стационарно състояние, което не се развива. Принципът на суперпозицията (ψ = Σa_nψ_n) на квантовата физика твърди, че за вълновата функция ψ, измерването ще даде състояние на квантовата система на една от m-те възможни собствени стойности f_n, n = 1,2... m на оператора ${\hat {F}}$, който е част от ψ_n, n=1,2,...n. След като сме измерили системата, знаем сегашното състояние и това не дава възможност системата да бъде в едно от другите състояния. Това означава, че видът измерване, което правим, засяга крайното състояние на системата. Една експериментално изследвана ситуация, свързана с това е квантовият ефект на Зенон, при който квантовото състояние ще се разпадне, ако е оставено само на себе си, но няма да се разпадне ако е подложено на непрекъснато наблюдение.

Принципът на неопределеността често се бърка с ефекта на наблюдателя, явно дори и от неговия инициатор, Вернер Хайзенберг. Принципът на неопределеността в стандартната си форма всъщност описва как може да се измери точно и акуратно положението и импулса на частиците по едно и също време - ако се съсредоточим върху точността при измерването на едното количество, ще сме принудени да загубим точността при измерване на другото.

Квантуване

Идеята за квант пръв въвежда Макс Планк на 14 декември 1900 годинa когато докладва своята теория пред Германското физично дружество. Там той обяснява спектъра на излъчване на абсолютно черно тяло. В доклада си Планк развива математическата идея за елементарно количество - „порция“ - енергия нареченa квант. През 1913 година Нилс Бор използва идеята, за да обясни факта, че електронът в атома не излъчва, освен ако не му се въздейства отвън. Бор въвежда т. нар. „стационарни орбити“ на електрона, чрез процедурата на квантуване на енергията им.

Важно свойство на микрочастицата е, че тя не винаги може да се намира в произволно състояние. В частност, ако някакви сили я задържат в приблизително локализирано състояние, то състоянията на частицата са квантувани. Тоест, частицата може да има само някакъв дискретен брой стойности на енергията в полето, което я задържа. Това е кардинално различие от класическата механика. Там стойностите на енергията на частицата са непрекъснати. Най важното практическо следствие от това е, че спектърът на излъчване на атомите се състои от отделни линии, а не е непрекъснат.

Нужда от теорията

Експериментално е установено, че свързаните електрони и другите елементарни частици се държат не като точки, а като неголеми „облачета“. Но тези облачета са неделими, облачето на електрона не може да се раздели на части. Тоест, ако искаме експериментално да изясним, къде точно се намира електронът, не е възможен отговор „Част от електрона е тук, другата част — там“ . Отговорът е: електронът се намира или изцяло тук, или изцяло там, или еди къде си. Електронът е едновременно навсякъде, макар, че в повечето случаи той „предпочита“ да е в един неголям обем от пространството.

Горното е многократно потвърден експериментален факт, свойство на света, в който живеем. Това е първата и най-важна особеност на квантовата механика: вероятностното описание на микрочастиците

Електронът може да се регистрира само в определена област от пространството, с някаква вероятност да е изцяло там. Даже и да знаем абсолютно всичко за състоянието на електрона, все пак не можем да кажем какъв ще е резултатът от един конкретен експеримент за определяне на неговото местоположение. Можем само да предскажем към какво разпределение ще се стремят резултатите при многократно повторение на този експеримент

Това веднага обрича на неуспех всички опити за прилагане на класическата Нютонова механика в случая. Тя се базира на координатите на материална точка или на по-сложни механични системи и на тяхната зависимост от времето – траектория. При микрочастиците понятията „точни координати“ и „траектория“ не съществуват и класическата механика няма с какво да работи. Затова е създаден разделът от физиката „квантова механика“.

Както местоположението на електрона не може да се определи с точност, така е невъзможно и определянето с точност на скоростта му. Ако мерим скоростта на електрона чрез някакъв прибор, то ще получаваме различни стойности при всяко повторение на опита. Принципно е невъзможно да се предскаже каква скорост ще се измери при експеримента.

Математически основи на квантовата механика

Айнщайн и Бор

Строгото математическо описание на квантовата механика е направено от Пол Дирак и Джон фон Нойман и се основава на Хилбертовите пространства и действащите в тях оператори. Възможните състояния на изолирана квантово-механична система се описват с вектори в това пространство, наречени „вектори на състоянието“. На наблюдаемите физични величини съответстват определени ермитови оператори в това пространство. На резултатите от измерванията на тези величини отговарят средните значения на тези оператори по зададен вектор на състоянието. Еволюцията на квантовата система във времето се определя от оператора на еволюцията, а той от своя страна, се изразява чрез хамилтониана на системата.

В някои случаи, структурата на това пространство и действащите в него оператори изглежда по-просто не в абстрактния си вид, а в някакво представяне. Курсовете по квантова механика стандартно започват с координатно представяне, при което вместо вектор на състоянието се използва неговата проекция по базиса на координатното представяне, тоест, вълновата функция. Уравнението на еволюцията във времето в този случай се изразява чрез диференциално уравнение с частни производни, наречено Уравнение на Шрьодингер:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ({\vec {r}},t)\;=\;-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ({\vec {r}},t)+V({\vec {r}},t)\psi ({\vec {r}},t)$

Трябва да се подчертае, че колкото и тежък да изглежда този начин на представяне, до настоящият момент той единствено дава резултати в съответствие с експериментално получените. Това също така предполага, че еволюцията на квантовата система е марковски процес, а броят на частиците постоянен. Тези положения позволяват създаването на подходящ математически апарат за описване на широк спектър от приложения в квантовата механика на хамилтонианови системи в чист вид. По-нататъшното развитие на този апарат е квантовата теория на полето, който обикновено се описва от квантови процеси с променлив брой на частиците. За описанието на състоянието на отворени, нехамилтонианови и дисипативни квантови системи, се използва матрица на плътността, а за описание на развитието на тези системи се използва уравнението на Линдблад.

Вероятностният характер на квантовата механика произтича от действието на измерването. Това е един от най-трудните за разбиране аспекти на квантовите системи. Това е и централна тема в известните дебати между Бор и Айнщайн, в която двамата учени се опитват да изяснят тези основни принципи чрез мисловни експерименти. Основната идея е, че когато една квантова система взаимодейства с измервателната апаратура, техните съответни вълнови функции се „оплитат“, така че първоначалната квантова система престава да съществува като независима единица.

Като цяло, квантовата механика не приписва определени стойности. Вместо това прави прогнози с помощта на разпределение на вероятностите, което означава, че описва вероятността от получаване на възможните резултати от наблюдаваните измервания. Често тези резултати са отместени или изкривени по много причини, като например плътните облаци на вероятността. Облаците на вероятността са също приближения, но по-добри от модела на Бор, мястото на електрона се дава с функция на вероятността.

Вълнови функции се променят с течение на времето. Уравнението на Шрьодингер описва тази промяна и играе роля, подобна на втория закон на Нютон в класическата механика. Уравнението на Шрьодингер, приложено към свободна частица прогнозира, че центърът на вълновия пакет ще се движи през пространството с постоянна скорост (като класическа частица без никакви сили, действащи върху него). Въпреки това, вълновият пакет се разпространява по-широко с времето, което означава, че позицията му става все по-несигурна с течение на времето.

Някои вълнови функции произвеждат вероятностни разпределения, които са постоянни, независими от времето - например, когато в стационарно състояние на постоянна енергия, времето изчезва в абсолютния квадрат на вълновата функция. Много системи, които са описвани като динамични в класическата механика се описват със „статични“ вълнови функции.

Философски интерпретации и последици

От самото си основаване, много контра-интуитивни аспекти и резултати от квантовата механика предизвикват силни философски дебати и много тълкувания. Дори и за фундаментални въпроси, като например основните правила на Макс Борн относно вероятностните амплитуди и вероятностните разпределения са необходими десетилетия, за да бъдат оценени от обществото и много водещи учени. Всъщност, известният физик Ричард Файнман веднъж казва: „Мисля, че спокойно мога да кажа, че никой не разбира квантовата механика.“

Копенхагенската интерпретация се дължи до голяма степен на датския физик теоретик Нилс Бор - остава формализмът на квантовата механика, който в момента е най-широко приет сред физиците, около 75 години след неговото създаване. Според това тълкуване, вероятностният характер на квантовата механика не е временно явление, което в крайна сметка да бъде заменено от детерминистична теория, а вместо това трябва да се счита за окончателен отказ от класическата идея за „причинно-следствена връзка“. Смята се също така, че всяко добре дефинирано приложение на формализма на квантовата механика трябва винаги да се позовава на експерименталните условия, което се дължи на принципа на допълнителността и естеството на доказателствата, получени при различни експериментални ситуации.

Алберт Айнщайн, самият той считан за един от основателите на квантовата теория, не харесва тази загуба на детерминизъм в измерването. Айнщайн приема, че трябва да има местна скрита променлива теория в основата на квантовата механика и следователно, че настоящата теория е непълна. Той прави серии от възражеия на теорията, най-известното от които е парадоксът на Айнщайн-Подолски-Розен. Експериментите, които са извършени, потвърждават точността на квантовата механика, като по този начин се демонстрира, че физическият свят не може да се опише с местна реалистична теория.. Дебатите Бор-Айнщайн осигуряват жизнена критика на Копенхагенската интерпретация от епистемологична гледна точка.

Тълкуването на Еверет за многото светове, формулирано през 1956 г., смята, че всички възможности, описани от квантовата теория, възникнат едновременно в мултивселената, съставена предимно от независими паралелни вселени. Това не се постига чрез въвеждането на някои нови аксиоми към квантовата механика, а напротив, чрез премахване на аксиома на колапса на вълновия пакет. Всички възможни последователни състояния на измерената система и измервателната апаратура (включително наблюдател) са осъществени в реални физически, не само формално математически и други интерпретации - квантова суперпозиция. Такава суперпозиция на последователни комбинации на състоянието на различните системи се нарича квантово заплитане. Докато мултивселената е детерминистична, ние възприемаме недетерминистичното поведение управлявано от вероятности, защото можем да наблюдаваме само Вселената. Тълкуването на Еверет е напълно съвместимо с експериментите на Джон Бел и ги прави интуитивно разбираеми. Въпреки това, според теорията на квантовата декохерентност тези „паралелни вселени“ никога няма да бъдат достъпни за нас. Недостъпността им може да се разбира по следния начин: веднъж след като измерването бъде направено, измерената система е заплетена както с физика, който прави измерването, така и с огромен брой други частици, някои от които са фотони, които летят със скоростта на светлината към другия край на Вселената. За да се докаже, че вълновата функция не претърпява колабс, ще трябва да се върнат обратно всички тези частици и да бъдат измерени отново, заедно със системата, която първоначално е била измерена. Това е не само напълно непрактично, но дори и да е теоретично възможно, ще унищожи всяко доказателство, че оригиналното измерване е било осъществено, включително паметта на човека. Релационната квантова механика се появява в края на 1990-те години като модерен вариант на Копенхагенската интерпретация.

Външни препратки

• Интерпретация на квантовата механика
• Квантова механика
• Квантова физика, видео лекции
• Курс по квантова механика
• Квантова механика, Stanford Encyclopedia of Philosophy
• Материали по квантова механика в Своден каталог НАБИС