Детерминанта: Разлика между версии

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Tzanko Matev (беседа | приноси)
м Определител“ преместена като „Детерминанта“: Определител е руски термин, на български е детерминанта
Tzanko Matev (беседа | приноси)
определител -> детерминанта; всички пръстени са асоциативни
Ред 1: Ред 1:
'''Определител''' или '''детерминанта''' в [[алгебра]]та е [[функция]], съпоставяща на [[квадратна матрица]] над [[асоциативност|асоциативно]]-[[комутативност|комутативен]] [[Пръстен (алгебра)|пръстен]] с единица ''K'' елемент от пръстена - [[многочлен]], в който всеки [[едночлен]] е [[произведение]] от по един [[множител]] от всеки ред и стълб на матрицата с определен знак в зависимост от четността на [[пермутация]]та от елементи.
'''Детерминанта''' в [[алгебра]]та е [[функция]], съпоставяща на [[квадратна матрица]] над [[комутативност|комутативен]] [[Пръстен (алгебра)|пръстен]] с единица ''K'' елемент от пръстена - [[многочлен]], в който всеки [[едночлен]] е [[произведение]] от по един [[множител]] от всеки ред и стълб на матрицата с определен знак в зависимост от четността на [[пермутация]]та от елементи.


Определителят е важна характеристика на матриците с разнообразно приложение в [[линейна алгебра|линейната алгебра]], [[комплексен анализ|комплексния]] и [[функционален анализ|функционалния]] анализ, [[аналитична геометрия|аналитична]]та и [[диференциална геометрия|диференциална]]та геометрия и др.
Детермнантата е важна характеристика на матриците с разнообразно приложение в [[линейна алгебра|линейната алгебра]], [[комплексен анализ|комплексния]] и [[функционален анализ|функционалния]] анализ, [[аналитична геометрия|аналитична]]та и [[диференциална геометрия|диференциална]]та геометрия и др.


== Начини за изчисляване ==
== Начини за изчисляване ==
По определение определителят на една матрица е равен на:
По определение детерминантата на една матрица е равна на:
: <math>\left | A \right | = \sum (-1)^t a_{1 i} a_{2 j} \ldots a_{n k}</math>
: <math>\left | A \right | = \sum (-1)^t a_{1 i} a_{2 j} \ldots a_{n k}</math>
където ''t'' е броят на [[инверсия (пермутация)|инверсии]]те в пермутацията (i,&nbsp;j,&nbsp;…&nbsp;,&nbsp;k).
където ''t'' е броят на [[инверсия (пермутация)|инверсии]]те в пермутацията (i,&nbsp;j,&nbsp;…&nbsp;,&nbsp;k).


Чрез изваждане пред скоби на даден елемент ''a<sub>ij</sub>'', в скобите остава съответното [[адюнгирано количество]] ''A<sub>ij</sub>''. Съгласно [[Теорема на Лаплас|теоремата на Лаплас]] определителят може да се развие по произволен ред ''i'' или по стълб ''j'':
Чрез изваждане пред скоби на даден елемент ''a<sub>ij</sub>'', в скобите остава съответното [[адюнгирано количество]] ''A<sub>ij</sub>''. Съгласно [[Теорема на Лаплас|теоремата на Лаплас]] детерминантата може да се развие по произволен ред ''i'' или по стълб ''j'':
: <math>\left | A \right | = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{ik} = \sum_{k=1}^n a_{kj} A_{kj}</math>
: <math>\left | A \right | = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{ik} = \sum_{k=1}^n a_{kj} A_{kj}</math>


== Свойства ==
== Свойства ==


Ако стълбовете на матрицата се разглеждат като [[вектор]]и от [[линейно пространство]], то антисиметричната [[полилинейна форма]] ''D'' върху пространството ''M'', която приема стойност единица върху базисните вектори на пространството, е определител. Таково определение е коректно, защото съществува единствена такава форма<ref name="vanderwaerden">[[Бартел Лейндерт ван дер Варден|Б.Л. ван дер Варден]], [[Алгебра (ван дер Варден)|Алгебра]], второ издание, изд. «Наука», Москва, 1979, В 20203-034/053(02)-79 31-79; стр. 98</ref>.
Ако стълбовете на матрицата се разглеждат като [[вектор]]и от [[линейно пространство]], то антисиметричната [[полилинейна форма]] ''D'' върху пространството ''M'', която приема стойност единица върху базисните вектори на пространството, е детерминанта. Таково определение е коректно, защото съществува единствена такава форма<ref name="vanderwaerden">[[Бартел Лейндерт ван дер Варден|Б.Л. ван дер Варден]], [[Алгебра (ван дер Варден)|Алгебра]], второ издание, изд. «Наука», Москва, 1979, В 20203-034/053(02)-79 31-79; стр. 98</ref>.


== Източници ==
== Източници ==

Версия от 19:23, 9 ноември 2006

Детерминанта в алгебрата е функция, съпоставяща на квадратна матрица над комутативен пръстен с единица K елемент от пръстена - многочлен, в който всеки едночлен е произведение от по един множител от всеки ред и стълб на матрицата с определен знак в зависимост от четността на пермутацията от елементи.

Детермнантата е важна характеристика на матриците с разнообразно приложение в линейната алгебра, комплексния и функционалния анализ, аналитичната и диференциалната геометрия и др.

Начини за изчисляване

По определение детерминантата на една матрица е равна на:

където t е броят на инверсиите в пермутацията (i, j, … , k).

Чрез изваждане пред скоби на даден елемент aij, в скобите остава съответното адюнгирано количество Aij. Съгласно теоремата на Лаплас детерминантата може да се развие по произволен ред i или по стълб j:

Свойства

Ако стълбовете на матрицата се разглеждат като вектори от линейно пространство, то антисиметричната полилинейна форма D върху пространството M, която приема стойност единица върху базисните вектори на пространството, е детерминанта. Таково определение е коректно, защото съществува единствена такава форма[1].

Източници

  1. Б.Л. ван дер Варден, Алгебра, второ издание, изд. «Наука», Москва, 1979, В 20203-034/053(02)-79 31-79; стр. 98