Комбинация (математика): Разлика между версии

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Редакция без резюме
Редакция без резюме
Ред 6: Ред 6:


Комбинациите на ''k'' елемента от множество с ''n'' елемента се отнасят до броя на всички възможни различни групи от по ''k'' елемента които могат да бъдат получени при произволно избиране без повторение.
Комбинациите на ''k'' елемента от множество с ''n'' елемента се отнасят до броя на всички възможни различни групи от по ''k'' елемента които могат да бъдат получени при произволно избиране без повторение.

== Примери ==
=== Пример 1. ===
Да се пресметне колко различни групи от по трима човека могат да бъдат образувани от дадена група състояща се от седем човека. Броят на възможните групи представлява броят на комбинациите на 7 елемента от 3-ти клас и се пресмята както следва:

<math>
{7 \choose 3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3! \cdot 4!}
= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 7 \cdot 5 = 35.
</math>


Сега нека разгледаме какъв ще е броят на всички възможни различни групи от по ''к'' елемента, ако след всяко избиране ги връщаме обратно в началното множество ''n''. В такъв случай броят на комбинациите с повторение на ''n'' елемента от ''k''- ти клас се означава с <math>\mathbf{C}_n^k = \mathbf{C}_{n + k - 1}^k</math> и е равен на
Сега нека разгледаме какъв ще е броят на всички възможни различни групи от по ''к'' елемента, ако след всяко избиране ги връщаме обратно в началното множество ''n''. В такъв случай броят на комбинациите с повторение на ''n'' елемента от ''k''- ти клас се означава с <math>\mathbf{C}_n^k = \mathbf{C}_{n + k - 1}^k</math> и е равен на
Ред 12: Ред 21:


където ''k'' е броят на повтарящите се елементи.
където ''k'' е броят на повтарящите се елементи.

По-общо, комбинация от ''n'' неща, взети по групи от ''k'' всеки път, често биват наричани ''k'' комбинации от ''n'' неща, е начин да изберем подмножество от ''k'' от дадено множество с размер ''n''. И както вече научихме съществуват точно <math>{n \choose k}</math> начина това да бъде осъществено. Избирането на ''k'' посочени елемента от ''n'' елемента е еквивалентно на избирането на останалите ''n - k'' непосочени. Ако обозначим неизбраните елементи с ''s'', то тогава тази симетрия може да бъде изразена чрез изразът:

:<math>n = s + t<\math>

и тогава ''k'' комбинации от ''n'' елемента могат да бъдат записвани като "''(s, k)'' комбинации". По този начин ''(s, k)'' - комбинация е начин за раздреляне ''n'' елемента в две групи с размер ''s'' и ''k''.









== Примери ==
=== Пример 1. ===
Да се пресметне колко различни групи от по трима човека могат да бъдат образувани от дадена група състояща се от седем човека. Броят на възможните групи представлява броят на комбинациите на 7 елемента от 3-ти клас и се пресмята както следва:


<math>
{7 \choose 3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3! \cdot 4!}
= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 7 \cdot 5 = 35.
</math>





Версия от 08:42, 19 март 2016

В комбинаториката, комбинацията е начин за избиране на елементи от множество. Избирането може да стане с повторение или без повторение, т.е. с връщане на избраните елементи в началното множесто или с изваждането им от него. При втория случай, а именно без повторение, комбинация на n елемента от k-ти клас, се нарича кое да е подмножество от k, т.е. k ≤ n различни елемента избрани измежду n дадени елемента, в което местата на избраните елементи е без значение.

Броят на комбинациите без повторение на n елемента от k-ти клас се означава с или C(n,k) и е равен на биномния коефициент n над k:

Комбинациите на k елемента от множество с n елемента се отнасят до броя на всички възможни различни групи от по k елемента които могат да бъдат получени при произволно избиране без повторение.

Примери

Пример 1.

Да се пресметне колко различни групи от по трима човека могат да бъдат образувани от дадена група състояща се от седем човека. Броят на възможните групи представлява броят на комбинациите на 7 елемента от 3-ти клас и се пресмята както следва:

Сега нека разгледаме какъв ще е броят на всички възможни различни групи от по к елемента, ако след всяко избиране ги връщаме обратно в началното множество n. В такъв случай броят на комбинациите с повторение на n елемента от k- ти клас се означава с и е равен на

където k е броят на повтарящите се елементи.

По-общо, комбинация от n неща, взети по групи от k всеки път, често биват наричани k комбинации от n неща, е начин да изберем подмножество от k от дадено множество с размер n. И както вече научихме съществуват точно начина това да бъде осъществено. Избирането на k посочени елемента от n елемента е еквивалентно на избирането на останалите n - k непосочени. Ако обозначим неизбраните елементи с s, то тогава тази симетрия може да бъде изразена чрез изразът:

<math>n = s + t<\math>

и тогава k комбинации от n елемента могат да бъдат записвани като "(s, k) комбинации". По този начин (s, k) - комбинация е начин за раздреляне n елемента в две групи с размер s и k.





Вижте също

Пермутация

Комбинаторика


Шаблон:Математика-мъниче