Потребител:Rest/sandbox

Увод в теорията на игрите

Теорема за опорната хиперплоскост

Теоремата за опорната хиперплоскост, доказана в средата на миналия век от Джон фон Нойман има следната формулировка:

Нека

$G_{n}\in \mathbb {R} ^{n}$

е изпъкнало компактно множество в n-мерното Евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$(n), а

$q(x_{1},x_{2},...x_{n})\not \in G_{n}$ -

някаква точка, която не принадлежи в $G_{n}$.

Теоремата гласи, че през точката q винаги може да се прекара хиперплоскост така, че множеството $G_{n}$ да лежи или от едната, или от другата страна на тази хиперплоскост.

Опорна хиперплоскост: Хиперплоскостта S се нарича "опорна хиперплоскост" на изпъкналото множество X ако X се съдържа в едното от полу-пространствата на H и границата на X има общи точки с H, т.е. H е опорна хиперплоскост на X ако inf $(s.x|x\in X)=c$ (В този случай $X\subseteq X^{\geq }$) или sup $(s.x|x\in X)=c$ (В този случай $X\subseteq X^{l}e$).

Наред с Теоремата за алтернативите при матриците, Теоремата за опорната хиперплоскост е една от двете леми, които Джон фон Нойман доказва преди да докаже основната теорема в Теорията на игрите:

В множествата от чисти стратегии на отделните коалиции G винаги съществуа някаква линейна комбинация от тези чисти стратегии, смесена стратегия, в която всяка игра има точка на равновесие, седловидна точка в матрицата на печалбата.

Доказателство

Хиперплоскост: Всеки ненулев вектор $s\in G$ и скалар $c\in \mathbb {R} ^{n}$ дефинират хиперплоскост $S(s,c)\in \mathbb {R} ^{n}$ така, че

$S(s,c)=\left\{x\in R|s.x=c\right\}.$

По тъкав начин, $S(s,c)\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ е линейно подпространство. Хиперплоскостта разделя пространството на две затворени "полу-пространства"

$G^{\leq }=\left\{\in \mathbb {R} ^{n}|s.x\leq c\right\}$

и

$G^{\geq }=\left\{\in \mathbb {R} ^{n}|s.x\geq c\right\}$,

които се намират съответно "под" и "над" опорната хиперплоскост $S(s,c)$. Двете полу-пространства $G^{\leq }$ и $G^{\geq }$ са изпъкнали.

Лема за изпъкналост на полу-пространствата

$\forall x\in \mathbb {R} ^{n}$ и $c\in \mathbb {R}$, множеството $G^{\leq }=\left\{\in \mathbb {R} ^{n}|s.x\leq c\right\}$ е изпъкнало.

Доказателство:

Нека $x,y\in G^{\leq }$. Тогава

$\forall \lambda \in [0,1]$, $p(\lambda x+(1-\lambda )y)=\lambda (s.x)+(1-\lambda )(s.y).$

Доколкото

$x,y\in G^{\leq },s.x\leq c$ и $py\leq c$

следва, че

$\lambda (s.x)+(1-\lambda )(s.y)\leq \lambda c+(1-\lambda )c=c$

и следователно

$p(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq c$.

Така, $\lambda x+(1-\lambda )y\in G^{\leq }.$

Аналогично се доказва твърдението и за $G^{\geq }$

Теория на организационната структура

Теория на категориите

Дефиниция

Категория е математическа структура, която по определение включва:

А. Две колекции от елементи

1. Колекция от обекти X;

2. Колекция от морфизми (или стрелки) $\phi$, понятие, което идва от комутативните диаграми, където морфизмите се означават със стрелки.

3. Четири оператора:

3.1. Оператор cod, присвояващ на всеки морфизъм $\phi$ обект cod $\phi$, кодомейн на $\phi$, (В някои текстове вместо означението cod се среща означението tgt - target.)

3.2. Оператор dom, присвояващ на всеки морфизъм $\phi$ обект dom $\phi$, домейн на $\phi$ (В някои текстове вместо означението dom се среща означението src - source.)

3.3. Оператор id, присвояващ на всеки обект X морфизъм $1_{X}$, морфизъм на идентичността на X, за който dom $1_{X}$ = cod $1_{X}$ = X,

3.4. Бинарен оператор, наречен композиция, присвояващ на всяка композируема двойка $(\alpha$, $\beta )$, т.е., на всяка двойка морфизми $(\alpha$, $\beta )$ с dom $\beta$ = cod $\alpha$, морфизъм $\beta \circ \alpha$ с

$dom\ \beta \circ \alpha =dom\ \alpha$

$cod\ \beta \circ \alpha =cod\ \beta$

4. Асоциативност на оператора за композиция $\circ$:

Ако f, g и h са морфизми,

$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$.

Това са твърдениета, които формират хипотезата на категорията ${\mathfrak {C}}$.

Морфизмът на идентичност $1_{X}$ за всеки обект X може да бъде анулиран от всяка една композиция в смисъл, че

• за всеки морфизъм $\phi$ с dom $\phi$ = X имаме $\phi \circ 1_{X}=\phi$

• за всеки морфизъм $\psi$ с cod $\psi$ = X имаме $1_{X}\circ \psi =\psi$

Definition en

There are many equivalent definitions of a category. One commonly used definition is as follows. A category C consists of

• a class ob(C) of objects
• a class hom(C) of morphisms, or arrows, or maps, between the objects. Each morphism f has a source object a and a target object b where a and b are in ob(C). We write f: a → b, and we say "f is a morphism from a to b". We write hom(a, b) (or hom_C(a, b) when there may be confusion about to which category hom(a, b) refers) to denote the hom-class of all morphisms from a to b. (Some authors write Mor(a, b) or simply C(a, b) instead.)
• for every three objects a, b and c, a binary operation hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c) called composition of morphisms; the composition of f : a → b and g : b → c is written as g ∘ f or gf. (Some authors use "diagrammatic order", writing f;g or fg.)

such that the following axioms hold:

• (associativity) if f : a → b, g : b → c and h : c → d then h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, and
• (identity) for every object x, there exists a morphism 1_x : x → x (some authors write id_x) called the identity morphism for x, such that for every morphism f : a → x and every morphism g : x → b, we have 1_x ∘ f = f and g ∘ 1_x = g.

From these axioms, one can prove that there is exactly one identity morphism for every object. Some authors use a slight variation of the definition in which each object is identified with the corresponding identity morphism.

Гифт

Файл:Definition Gift.jpg

Gift γ е присъща характеристика, която ни дава формално основание да абстрахираме в едно множество X клас от обекти G, gift-обекти, които притежават въпросната характеристиката, и комплементарния му клас L = X\G – класът на всички останали обекти, които не притежават въпросната характеристика, left-обекти.

Класът G наричаме таксон или целеви клас на гифта γ в X, а класът L – комплемент на таксона G в X.

Игра на гифт

Математическо очакване (статистическа честота), изразена като фазов фактор и информационна ентропия на сечение в множество

Ако познаваме статистическата честота (математическо очакване) p на събитиитието x ∈ G, то съответната статистическа честота на комплементарното събитие x ∉ G ≡ x ∈ L ще бъде (1 - p), така че в множеството X възниква игра на единичен квадрат – лотария [(p, (1-p)] с информационна ентропия на отношението сигнал (x ∈ G, печалба) и шум (x ∈ L, загуба)

$H=-[p\ln p+(1-p)\ln(1-p)]$ nat.