Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Разлика между версии
Bot: Automated import of articles - append on top |
м Робот Добавяне {{без източници}} |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
{{без източници}} |
|||
{{към пояснение|Теорема на Болцано-Вайерщрас|Теорема на Болцано-Вайерщрас}} |
{{към пояснение|Теорема на Болцано-Вайерщрас|Теорема на Болцано-Вайерщрас}} |
||
'''Теоремата на [[Бернард Болцано|Болцано]] - [[Карл Вайерщрас|Вайерщрас]] (за безкрайните редици)''' гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица <math>r: \N\to\R</math> притежава сходяща подредица. |
'''Теоремата на [[Бернард Болцано|Болцано]] - [[Карл Вайерщрас|Вайерщрас]] (за безкрайните редици)''' гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица <math>r: \N\to\R</math> притежава сходяща подредица. |
Версия от 14:14, 9 октомври 2017
За информацията в тази статия или раздел не са посочени източници. Въпросната информация може да е непълна, неточна или изцяло невярна. Имайте предвид, че това може да стане причина за изтриването на цялата статия или раздел. |
- Вижте пояснителната страница за други значения на Теорема на Болцано-Вайерщрас.
Теоремата на Болцано - Вайерщрас (за безкрайните редици) гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица притежава сходяща подредица.
Доказателство
Нека и Ако има точка на сгъстяване , то очевидно .
Да допуснем, че няма точка на сгъстяване. Тогава околност на , такава че съдържа само краен брой членове на .
Тогава обединението е покритие на интервала . От теоремата на Хайне - Борел следва, че има крайно подпокритие , състоящо се от краен брой интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на . Но има безбройно много членове в интервала , което е противоречие и следователно има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.
Тази теорема е доказана от чешкия математик Болцано през 1817 г., а по-късно независимо от него е получена от Вайерщрас. Тя е една от основните теореми в математическия анализ.