Триъгълно число: Разлика между версии
Редакция без резюме |
Редакция без резюме |
||
Ред 1: | Ред 1: | ||
[[Файл:First_six_triangular_numbers.svg|мини|Първите шест триъгълни числа]] |
[[Файл:First_six_triangular_numbers.svg|мини|Първите шест триъгълни числа]] |
||
'''Триъгълно число'''<ref>[http://nauka.offnews.bg/news/Matematika_18/Kak-da-prebroim-chislata-bez-da-gi-broim-ili-zashto-matematikata-e-kr_71339.html Как да преброим числата, без да ги броим или защо математиката е красива]</ref> е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват [[равностранен триъгълник]], като в схемата в дясно. Триъгълното число ''n'' е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни ''n'' точки и е равно на сумата от |
'''Триъгълно число'''<ref>[http://nauka.offnews.bg/news/Matematika_18/Kak-da-prebroim-chislata-bez-da-gi-broim-ili-zashto-matematikata-e-kr_71339.html Как да преброим числата, без да ги броим или защо математиката е красива]</ref> е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват [[равностранен триъгълник]], като в схемата в дясно. Триъгълното число ''n'' е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни ''n'' точки и е равно на сумата от първите ''n'' [[Естествено число|естествени числа]]. Числото 0 (нулево триъгълно число) също се приема за триъгълно число на триъгълник със страна 0 (''n''=0). Първите (до ''n''=36) триъгълни числа (последователност [[oeis:A000217|A000217]] в [[:en:On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences|OEIS]]) са |
||
: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666... |
: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, ... |
||
== Формула == |
== Формула == |
||
Точната формула за триъгълно число е: |
Точната формула за триъгълно число е: |
||
:<math> T_n= \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2} |
:<math> T_n = \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2}</math>, |
||
където <math>\textstyle {n+1 \choose 2}</math> е [[Биномен коефициент|биномен коефицент]]. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от ''n'' + 1 елемента. |
където <math>\textstyle {n+1 \choose 2}</math> е [[Биномен коефициент|биномен коефицент]]. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от ''n'' + 1 елемента. |
||
Ред 18: | Ред 18: | ||
== Връзка към други фигурни числа == |
== Връзка към други фигурни числа == |
||
Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите фигурни числа. |
Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите фигурни числа. |
||
* Произведението на две последователни естествени числа е [[правоъгълно число]]. |
|||
<math> P_n = {n(n+1)} = {n^2+n} = T_n \times 2</math> |
|||
Така ''n-''тото правоъгълно число е двойно по-голямо от ''n''-тото триъгълно число. |
|||
⚫ | |||
* Сумата от две последователни триъгълни числа е [[квадратно число]]. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
Графично това се представя така: |
Графично това се представя така: |
||
Ред 33: | Ред 37: | ||
Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията |
Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията |
||
:<math>S_n = 34S_{n-1} - S_{n-2} + 2</math> с <math>S_0 = 0</math> и <math>S_1 = 1 |
:<math>S_n = 34S_{n-1} - S_{n-2} + 2</math> с <math>S_0 = 0</math> и <math>S_1 = 1</math> |
||
== Триъгълни репдиджит числа == |
|||
[[Репдиджит]] е естествено число, състоящо се само от една и съща [[цифра]]. |
|||
Според последователност [http://oeis.org/search?q=A045914&language=english&go=Search A045914] в OEIS има само 7 числа, които са едновременно триъгълни и репдиджит: |
|||
<code>0, 1, 3, 6, 55, 66, 666</code> |
|||
В случая участват и едноцифрени числа, защото технически те са репдиджит само от една цифра. |
|||
== Вижте също == |
|||
* [[Правоъгълно число]] |
|||
* [[Квадратно число]] |
|||
== Източници == |
== Източници == |
Версия от 08:41, 5 февруари 2018
Триъгълно число[1] е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват равностранен триъгълник, като в схемата в дясно. Триъгълното число n е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни n точки и е равно на сумата от първите n естествени числа. Числото 0 (нулево триъгълно число) също се приема за триъгълно число на триъгълник със страна 0 (n=0). Първите (до n=36) триъгълни числа (последователност A000217 в OEIS) са
- 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, ...
Формула
Точната формула за триъгълно число е:
- ,
където е биномен коефицент. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от n + 1 елемента.
Първото уравнение може да се илюстрира с помощта на следното доказателство.[2] За всяко триъгълно число си представете полу-квадратно разположение на елементите, съответстващи на триъгълното число, като на фигурата по-долу. Копирайте тази подредба и я завъртете, създавайки правоъгълник с удвоен брой елементи, с размери . Триъгълното число е винаги точно половината от броя на елементите в такава фигура, или: . Например се илюстрира по следния начин:
(зелени плюс жълти) означава, че (зелени). |
За доказателство се използва и математическата индукция.[3]
Връзка към други фигурни числа
Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите фигурни числа.
- Произведението на две последователни естествени числа е правоъгълно число.
Така n-тото правоъгълно число е двойно по-голямо от n-тото триъгълно число.
- Сумата от две последователни триъгълни числа е квадратно число.
То е равно на квадрата от разликата на двете числа (следователно, разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически,
Графично това се представя така:
6 + 10 = 16 | 10 + 15 = 25 |
Има безкрайно количество триъгълни числа които са едновременно и квадратни числа; например, 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула:
- с
Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията
- с и
Триъгълни репдиджит числа
Репдиджит е естествено число, състоящо се само от една и съща цифра.
Според последователност A045914 в OEIS има само 7 числа, които са едновременно триъгълни и репдиджит:
0, 1, 3, 6, 55, 66, 666
В случая участват и едноцифрени числа, защото технически те са репдиджит само от една цифра.
Вижте също
Източници
- ↑ Как да преброим числата, без да ги броим или защо математиката е красива
- ↑ Triangular Number Sequence
- ↑ Andrews, George E. Number Theory, Dover, New York, 1971. pp. 3-4.
Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Triangular number в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.
ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни. |