Ред на Тейлър: Разлика между версии
м Грешки в статичния код: Неправилно вложен таг с различно визуализиране в HTML5 и HTML4 |
|||
Ред 1: | Ред 1: | ||
[[Картинка:sintay.svg|мини|300п|Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на < |
[[Картинка:sintay.svg|мини|300п|Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на <span style="color:#333333"><math>\sin x</math></span> и развития по Тейлър от степен <span style="color:red">1</span>, <span style="color:orange">3</span>, <span style="color:yellow">5</span>, <span style="color:green">7</span>, <span style="color:blue">9</span>, <span style="color:indigo">11</span> и <span style="color:violet">13</span>.]] |
||
'''Ред на Тейлър''' или '''Развитие по Тейлър''' е [[апроксимация]] на [[Реално число|реална]] или [[Комплексно число|комплексна]] [[функция]] чрез представянето ѝ като [[безкраен ред]] с общ член, изчислен от стойностите на [[Производна|производните]] на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на [[Теорема на Тейлър|теоремата на Тейлър]]. |
'''Ред на Тейлър''' или '''Развитие по Тейлър''' е [[апроксимация]] на [[Реално число|реална]] или [[Комплексно число|комплексна]] [[функция]] чрез представянето ѝ като [[безкраен ред]] с общ член, изчислен от стойностите на [[Производна|производните]] на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на [[Теорема на Тейлър|теоремата на Тейлър]]. |
||
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в [[интервал (математика)|отворения интервал]] (''a'' − ''r'', ''a'' + ''r''), тогава нейното развитие по Тейлър е [[степенен ред|степенният ред]] |
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в [[интервал (математика)|отворения интервал]] (''a'' − ''r'', ''a'' + ''r''), тогава нейното развитие по Тейлър е [[степенен ред|степенният ред]] |
||
Ред 9: | Ред 9: | ||
</math> |
</math> |
||
''(Тук f<sup>( |
''(Тук f<sup>(n)</sup>(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция)'' |
||
Редът е кръстен на [[Англия|английския]] [[математик]] [[Брук Тейлър]]. В случаите, когато ''a'' = 0, редът се нарича '''ред на Маклорен''' по името на [[Шотландия|шотландския]] математик [[Колин Маклорен]] (Colin Maclaurin). |
Редът е кръстен на [[Англия|английския]] [[математик]] [[Брук Тейлър]]. В случаите, когато ''a'' = 0, редът се нарича '''ред на Маклорен''' по името на [[Шотландия|шотландския]] математик [[Колин Маклорен]] (Colin Maclaurin). |
||
Ред 15: | Ред 15: | ||
Функции, които са точно равни на развитието си по Тейлър в произволна точка ''a'', се наричат [[аналитични функции]]. Пример за такива са [[Тригонометрична функция|тригонометричните функции]] [[Синус (математика)|синус]] и [[косинус]]. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките ѝ производни в дадена точка. |
Функции, които са точно равни на развитието си по Тейлър в произволна точка ''a'', се наричат [[аналитични функции]]. Пример за такива са [[Тригонометрична функция|тригонометричните функции]] [[Синус (математика)|синус]] и [[косинус]]. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките ѝ производни в дадена точка. |
||
На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър на sin ''x''. Жълтата крива е от седма степен и е графика на |
На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър на sin ''x''. Жълтата крива е от седма степен и е графика на |
||
:<math>\sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}. </math> |
:<math>\sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}. </math> |
||
Ред 23: | Ред 23: | ||
* Доказателство на теореми от математическия анализ. |
* Доказателство на теореми от математическия анализ. |
||
==История== |
== История == |
||
Най-ранните ползвания на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, са от XIV век, от [[Индия|индийския]] математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за [[Синус (математика)|синус]], [[косинус]], [[тангенс]] и [[аркустангенс]], но не генерализира редовете. |
Най-ранните ползвания на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, са от XIV век, от [[Индия|индийския]] математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за [[Синус (математика)|синус]], [[косинус]], [[тангенс]] и [[аркустангенс]], но не генерализира редовете. |
||
Ред 32: | Ред 32: | ||
[[Колин Маклорен]] изследва специалния случай във втората половина на XVII век. |
[[Колин Маклорен]] изследва специалния случай във втората половина на XVII век. |
||
==Развитие на някои прости функции== |
== Развитие на някои прости функции == |
||
* [[Експоненциална функция]] и [[естествен логаритъм]]: |
* [[Експоненциална функция]] и [[естествен логаритъм]]: |
||
Ред 53: | Ред 53: | ||
:<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad,\forall x</math> |
:<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad,\forall x</math> |
||
:<math>\operatorname{tg} x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad = |
:<math>\operatorname{tg} x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + .. |
||
,\left| x \right| < \frac{\pi}{2}</math> |
,\left| x \right| < \frac{\pi}{2}</math> |
||
Ред 65: | Ред 65: | ||
:<math>\operatorname{arctg} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| \leq 1</math> |
:<math>\operatorname{arctg} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| \leq 1</math> |
||
* [[Хиперболична функция|Хиперболични функции]]: |
* [[Хиперболична функция|Хиперболични функции]]: |
||
Ред 79: | Ред 78: | ||
:<math>\mathrm{arctgh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| < 1</math> |
:<math>\mathrm{arctgh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| < 1</math> |
||
==Изчисляване== |
== Изчисляване == |
||
Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за голям брой функции. Редът може да се ползва както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи е най-доброто решение е редът да се интегрира няколко пъти [[интегриране по части|по части]]. |
Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за голям брой функции. Редът може да се ползва както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи е най-доброто решение е редът да се интегрира няколко пъти [[интегриране по части|по части]]. |
||
==Вижте също== |
== Вижте също == |
||
* [[Теорема на Тейлър]] |
* [[Теорема на Тейлър]] |
||
* [[Нютонов бином]] |
* [[Нютонов бином]] |
||
==Външни препратки== |
== Външни препратки == |
||
* [http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html Ред на тейлър в MathWorld] |
* [http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html Ред на тейлър в MathWorld] |
||
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html История на Мадхава Сангамаграма ] |
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html История на Мадхава Сангамаграма ] |
Версия от 17:45, 11 март 2018
Ред на Тейлър или Развитие по Тейлър е апроксимация на реална или комплексна функция чрез представянето ѝ като безкраен ред с общ член, изчислен от стойностите на производните на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на теоремата на Тейлър.
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в отворения интервал (a − r, a + r), тогава нейното развитие по Тейлър е степенният ред
(Тук f(n)(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция)
Редът е кръстен на английския математик Брук Тейлър. В случаите, когато a = 0, редът се нарича ред на Маклорен по името на шотландския математик Колин Маклорен (Colin Maclaurin).
Функции, които са точно равни на развитието си по Тейлър в произволна точка a, се наричат аналитични функции. Пример за такива са тригонометричните функции синус и косинус. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките ѝ производни в дадена точка.
На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър на sin x. Жълтата крива е от седма степен и е графика на
Редът на Тейлър се използва широко в приложната математика и математическия анализ. Някои от приложенията му са:
- Директно получаване на приблизителна стойност на функция.
- Доказателство на теореми от математическия анализ.
История
Най-ранните ползвания на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, са от XIV век, от индийския математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за синус, косинус, тангенс и аркустангенс, но не генерализира редовете.
В края на XVII век Джеймс Грегъри също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но също не вижда обобщението.
През 1715 Брук Тейлър доказва и генреализира теоремата си, пряко следствие на която е този обобщен ред.
Колин Маклорен изследва специалния случай във втората половина на XVII век.
Развитие на някои прости функции
- където B са числа на Бернули.
- където E са числа на Ойлер
Изчисляване
Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за голям брой функции. Редът може да се ползва както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи е най-доброто решение е редът да се интегрира няколко пъти по части.