Косинус

Графика на косинус

Косинус е тригонометрична функция, означавана с cos φ, където φ е ъгъл.

Дефиниция

За остър ъгъл в правоъгълен триъгълник косинусът се дефинира като отношението на прилежащия катет към хипотенузата. За обобщен ъгъл с радианна мярка x, чийто връх е в координатното начало, а първото рамо е по абсцисната ос, cos x е абсцисата на точката, в която второто рамо на ъгъла пресича единичната окръжност.

Формули и свойства

Някои от свойствата на функцията косинус за x ∈ [0, 2π] са:

• Функцията косинус е четна функция, понеже cos (-x) = cos x.

• Функцията косинус е периодична функция с период 2π, понеже cos x = cos (x+2kπ).

• Функцията косинус е ограничена функция – и отгоре от 1, и отдолу от -1.

• За функцията косинус е изпълнено основното тригонометрично тъждество sin²x + cos²x = 1.

• Функцията косинус приема положителни стойност за ъгли от I и IV квадрант и отрицателни стойности за ъгли от II и III квадрант.

Косинус на сбор и разлика на два ъгъла

cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y.

cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y.

Косинус на удвоен ъгъл

cos 2x = (cos x)² – (sin x)².

Сбор и разлика на косинуси

cos x + cos y = 2 cos 1/2 (x + y) cos 1/2 (x – y).

cos x – cos y = – 2 sin 1/2 (x – y) sin 1/2 (x + y).

Графика на функцията

Графиката на косинуса може да се получи директно от графиката на синуса, като вземем пред вид, че

cos x = sin (π/2 + x).

Следователно графиката на косинуса е синусоида, която се получава от графиката на синуса посредством транслация успоредно на оста Ох в отрицателна посока на разстояние π/2.

Вижте също

• Тригонометрични функции
• Синус