Триъгълно число: Разлика между версии
мРедакция без резюме |
|||
Ред 1: | Ред 1: | ||
[[Файл:First_six_triangular_numbers.svg|мини|Първите шест триъгълни числа]] |
[[Файл:First_six_triangular_numbers.svg|мини|Първите шест триъгълни числа]] |
||
'''Триъгълно число'''<ref>[http://nauka.offnews.bg/news/Matematika_18/Kak-da-prebroim-chislata-bez-da-gi-broim-ili-zashto-matematikata-e-kr_71339.html Как да преброим числата, без да ги броим или защо математиката е красива]</ref> е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват [[равностранен триъгълник]], като в схемата в дясно. Триъгълното число ''n'' е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни ''n'' точки и е равно на сумата от първите ''n'' [[Естествено число|естествени числа]]. Числото 0 ( |
'''Триъгълно число'''<ref>[http://nauka.offnews.bg/news/Matematika_18/Kak-da-prebroim-chislata-bez-da-gi-broim-ili-zashto-matematikata-e-kr_71339.html Как да преброим числата, без да ги броим или защо математиката е красива]</ref> е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват [[равностранен триъгълник]], като в схемата в дясно. Триъгълното число ''n'' е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни ''n'' точки и е равно на сумата от първите ''n'' [[Естествено число|естествени числа]]. [[Нула|Числото 0]] („нулево триъгълно число“) също се приема за триъгълно число на триъгълник със страна 0. Първите 36 триъгълни числа (последователност [[oeis:A000217|A000217]] в [https://oeis.org/ OEIS]) са: |
||
: |
: [[1 (число)|1]], [[3 (число)|3]], [[6 (число)|6]], [[10 (число)|10]], [[15 (число)|15]], [[21 (число)|21]], [[28 (число)|28]], [[36 (число)|36]], [[45 (число)|45]], [[55 (число)|55]], [[66 (число)|66]], [[78 (число)|78]], [[91 (число)|91]], 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, … |
||
== Формула == |
== Формула == |
Версия от 16:08, 2 октомври 2019
Триъгълно число[1] е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват равностранен триъгълник, като в схемата в дясно. Триъгълното число n е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни n точки и е равно на сумата от първите n естествени числа. Числото 0 („нулево триъгълно число“) също се приема за триъгълно число на триъгълник със страна 0. Първите 36 триъгълни числа (последователност A000217 в OEIS) са:
- 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, …
Формула
Точната формула за триъгълно число е:
- ,
където е биномен коефицент. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от n + 1 елемента.
Първото уравнение може да се илюстрира с помощта на следното доказателство.[2] За всяко триъгълно число си представете полу-квадратно разположение на елементите, съответстващи на триъгълното число, като на фигурата по-долу. Копирайте тази подредба и я завъртете, създавайки правоъгълник с удвоен брой елементи, с размери . Триъгълното число е винаги точно половината от броя на елементите в такава фигура, или: . Например се илюстрира по следния начин:
(зелени плюс жълти) означава, че (зелени). |
За доказателство се използва и математическата индукция.[3]
Връзка към други фигурни числа
Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите фигурни числа.
- Произведението на две последователни естествени числа е правоъгълно число.
Така n-тото правоъгълно число е двойно по-голямо от n-тото триъгълно число.
- Сумата от две последователни триъгълни числа е квадратно число. То е равно на квадрата от разликата на двете числа (следователно разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически:
Графично това се представя така:
6 + 10 = 16 | 10 + 15 = 25 |
Има безкрайно количество триъгълни числа, които са едновременно и квадратни числа; например: 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула:
- с
Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията:
- с и
- Сборът на първите n на брой триъгълни числа прави n-тото тетраедрално число, като има само 5 триъгълни числа, които са същевременно и тетраедрални:[4]
Триъгълни репдиджит числа
Репдиджит е естествено число, състоящо се само от една и съща цифра.
Според последователност A045914 в OEIS има само 7 числа, които са едновременно триъгълни и репдиджит:
- 0, 1, 3, 6, 55, 66, 666
В случая участват и едноцифрени числа, защото технически те са репдиджит само от една цифра.
Вижте също
Източници
- ↑ Как да преброим числата, без да ги броим или защо математиката е красива
- ↑ Triangular Number Sequence // Math Is Fun.
- ↑ Andrews, George E. Number Theory, Dover, New York, 1971. pp. 3-4.
- ↑ Последователност A027568 в OEIS
Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Triangular number в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.
ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни. |