Апроксимация

Апроксимация (приближение) е математически термин, с който се означава замяната на едни математически обекти с други, по-прости, но същевременно близки в някакъв смисъл до изходните. Целта на апроксимацията е да се сведе изследването на различни (неизвестни или изключително сложни) числови характеристики и качествени свойства на първоначалните обекти до работа с други обекти, чиито характеристики и свойства са вече познати или по-удобни за работа. Различни дялове на математиката имат отношение към апроксимацията, като например:

• числени методи и функционален анализ, които се занимават с апроксимация на функции (най-честата употреба на термина);
• геометрия и топология, в които се разглежда апроксимацията на криви, повърхнини, пространства и изображения;
• теория на числата, където класически пример е апроксимацията на ирационални числа с рационални (т.нар. Диофантово приближение).

Апроксимиране на реалните числа с рационални

Теорема 1. Нека $x$ е реално число, а $n$ – естествено. Тогава съществуват цели числа $p$ и $q$, за които $1\leq q\leq n$ и $(1):$

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|\leq {\frac {1}{nq}}\cdot$

За произволно реално $y$ да означим с $[y]$ най-голямото измежду целите числа $m\leq y$. Така например, $\left[{\frac {5}{2}}\right]=2$, $\left[-{\frac {5}{2}}\right]=-3$. От това определение става ясно, че $[y]$ е цяло число и че $0\leq y-[y]<1$.

Да разгледаме числата $kx-[kx],(k=0,1,2...,n)$. Те са $n+1$ на брой и лежат в интервала $[0,1]$. Разделяме последния интервал на $n$ равни подинтервала $\Delta _{1},\Delta _{2},...,\Delta _{n},$ всеки от които има дължина ${\frac {1}{n}}$. От принципа на Дирихле следва, че съществуват две различни цели числа $k$ и $l$ между $0$ и $n$, за които числата $kx-[kx]$ и $lx-[lx]$ принадлежат на един и същи интервал $\Delta _{\nu }$. Следователно разстоянието между тях няма да надминава ${\frac {1}{n}}$, т.е.

$|kx-[kx]-(lx-[lx])|\leq {\frac {1}{n}},$

или, което е същото $(2)$,

$|(k-l)x-([kx]-[lx])|\leq {\frac {1}{n}}.$

Тъй като $k\neq l$, без ограничение на общността може да се предположи, че $k>l$. Освен това, $0\leq k\leq n$, $0\leq l\leq n$, следователно $1\leq k-l\leq n$. Да положим $q=k-l$ и $p=[kx]-[lx]$. Тогава $p$ и $q$ са цели числа и са в сила неравенствата $1\leq q\leq n$. При тези означения $(2)$ добива вида $|qx-p|\leq {\frac {1}{n}}$, откъдето след деление на двете страни с $q$ се получава $(1)$. От доказаното може да се получи като следствие Теорема 2.

Теорема 2. За всяко реално число $x$ съществуват безбройно много естествени числа $q$, за всяко от които съществува цяло число $p,$ за което е в сила неравенството

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|\leq {\frac {1}{q^{2}}}\cdot$