Квадрат

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Тази статия е за четириъгълника. За повдигането на квадрат вижте квадрат (алгебра). За римския политик вижте Квинт Корнелий Квадрат.

Квадратът (от латински: quadrātum – „четириъгълник“) представлява равнинна геометрична фигура, правилен четириъгълник. Има четири равни страни и четири равни ъгли.

Определение[редактиране | редактиране на кода]

Квадратът е правилен многоъгълник с четири страни и ъгли, но може да се дефинира и посредством други геометрични фигури като:

Свойства[редактиране | редактиране на кода]

Квадрат с дължина на страната и диагонал

За квадрата са валидни следните твърдения:

  • Четирите му страни са равни.
  • Четирите вътрешни ъгли са еднакви и сборът им е 360° (2π), затова всичките са прави (по 90°).
  • Има четири оси на симетрия – двата диагонала и двете симетрали на страните.
  • Има център на симетрия – пресечната точка на диагоналите.
  • Двата диагонала са равни, разполовяват се и са взаимно перпендикулярни.
  • Диагоналите разполовяват ъглите на квадрата.
  • Пресечната точка на диагоналите му е център на вписаната и на описаната окръжност.
  • Всеки квадрат е подобен на всеки друг квадрат.
  • Квадратът е правилен четириъгълник с централен ъгъл π /2 и , където R е радиусът на описаната около квадрата окръжност.

За да начертаем квадрат, е достатъчно да знаем дължината на страната му или дължината на диагонала му.

Формули[редактиране | редактиране на кода]

Формули за квадрат
Дължина на страната
Дължина на диагонала
Периметър
Лице
Радиус на описаната окръжност
Радиус на вписаната окръжност

Построение[редактиране | редактиране на кода]

Тъй като 4 е степен на 2, квадрат може да бъде построен с линийка и пергел:[1]

Квадратът в неевклидовата геометрия[редактиране | редактиране на кода]


Шест квадрата покриват сфера, като във всеки връх се допират точно три квадрата с вътрешни ъгли от по 120°. Това се нарича сферичен куб.

Евклидовата равнина може да бъде покрита с квадрати, като във всеки връх се допират точно четири квадрата с вътрешни ъгли по 90°. (Вижте Квадратно пано)

Квадрати покриват хиперболичната сфера, като във всеки връх се допират точно пет квадрата с вътрешни ъгли по 72°. (Вижте Петоредово квадратно пано)

В неевклидовата геометрия квадратите са по-общи многоъгълници с четири равни страни и равни ъгли.

В сферичната геометрия квадратът е многоъгълник, чиито ръбове са дъги от големи окръжности на равни разстояния, които се пресичат в равните ъгли. За разлика от квадрата в равнинната геометрия ъглите на сферичния квадрат са по-големи от правия ъгъл.

В хиперболичната геометрия не съществуват квадрати с прави ъгли. Там квадратите имат остри ъгли.

Кръстосан квадрат[редактиране | редактиране на кода]

Кръстосан квадрат

Кръстосаният квадрат е диагонално сечение на квадрата, самопресичащ се многоъгълник, създаден чрез премахване на два срещуположни ръба на квадрат и повторно свързване чрез двата му диагонала. Той има половината от симетрията на квадрата, Dih2, ред 4. Има същото разположение на върховете като квадрата и е транзитивен по върховете. Изглежда като два равнобедрени правоъгълни триъгълника с общ връх на правите ъгъл, но геометричното пресичане не се счита за връх.

Кръстосаният квадрат понякога се оприличава на папийонка или пеперуда. Кръстосаният правоъгълник се получава чрез сечение на правоъгълника и двата специални случая на кръстосани четириъгълници. [2]

Вътрешността на пресечен квадрат може да има многоъгълна плътност ±1 във всеки триъгълник, в зависимост от ориентацията на навиването по посока на часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка.

Квадратът и кръстосаният квадрат имат следните общи свойства:

  • Противоположните страни са равни по дължина.
  • Двата диагонала са еднакви по дължина.
  • Има две линии на отражателна симетрия и ротационна симетрия от порядък 2 (през 180°).

Съществува в конфигурацията на върха на еднакви звездни многостени, тетрахемихексахедър.

Вижте също[редактиране | редактиране на кода]

Източници[редактиране | редактиране на кода]

  1. Constructible Polygon, mathworld.wolfram.com
  2. Wells, Christopher J. Quadrilaterals // Посетен на 2017-12-12.