Скаларно произведение

Скаларното произведение на два вектора ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$ е число (скалар), което е равно на произведението от големините им и косинуса на ъгъла между тях. Ъгълът между два вектора приема стойности от 0° до 180°, следователно скаларното произведение на два вектора може да приема и положителни, и отрицателни стойности.

Скаларно произведение на два ненулеви вектора.

Скаларното произведение на нулевия вектор с всеки друг вектор е равно на 0.

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}^{T}{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{pmatrix}}^{T}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=\Vert {\vec {a}}\Vert \Vert {\vec {b}}\Vert \cos(\theta )$

Свойства

• ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}$
• ${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}$
• $(k{\vec {a}})\cdot {\vec {b}}=k({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})$

Намиране на ъгъл между две прави чрез скаларно произведение на вектори

Ако $AB$ и $CD$ са две прави и φ е ъгълът между тях, то cos(φ) е равен на модула от скаларното произведение на векторите $AB$^→ и $CD$^→, разделено на произведението на дължините на отсечките $AB$ и $CD$.

$\cos(\theta )={{\vec {a}}\cdot {\vec {b}} \over \Vert {\vec {a}}\Vert \Vert {\vec {b}}\Vert }$

Важно свойство на скаларното произведение на два вектора е, че ако правите $AB$ и $CD$ са перпендикулярни, скаларното произведение на $AB$^→ и $CD$^→ е равно на 0, защото cos(90°)=0.

Намиране дължина на отсечка

Голямо практическо приложение скаларното произведение на векторите намира при търсенето на дължина на отсечка. Тъй като ъгълът между два равни вектора е 0°, косинусът на този ъгъл винаги е 1. Следователно коренът от $AB$^→ умножено по себе си е равен на дължината на отсечката $AB$.