Преобразувание на Фурие

Преобразуванието на Фурие има няколко значения. В началото се дефинира за абсолютно интегруеми функции, а посредством теоремата на Планшерел и за по-общи функции. Използва се като важен инструмент в хармоничния анализ и теорията на диференциалните уравнения.

Преобразувание на Фурие

Нека $f$ е функция с период $2\pi$, която разглеждаме като функция, дефинирана в интервала $\mathbb{T}=[0,2\pi)$. С $L^1(\mathbb{T})$ означаваме банаховото пространство от функции $f$, за които е изпълнено $\int_0^{2\pi}|f(t)|dt<\infty.$

Преобразуванието на Фурие $\hat f$ се дефинира чрез интеграла $\hat f (n)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-2\pi i nt}dt, n \in \mathbb {Z}$. Комплексното число $\hat{f}(n)$ се нарича n-ти фуриеров коефициент или n-та честота на $f$.

Преобразувание на Фурие за n-мерно пространство

Нека $f$ е функция от банаховото пространство $L^1(\mathbb{R}^n)$, което съдържа всички абсолютно интегруеми функции върху $\mathbb{R}^n$. Преобразуванието на Фурие се дефинира чрез интеграла $\hat f (\omega)=\int_{\mathbb{R}^n}f(t)e^{-2\pi i \langle \omega, t\rangle}$.

Ако разглеждаме функциите $f$ от хилбертовото пространство $L^2(\mathbb{R}^n)$, т.е. всички фунцкии, за които $\int_{\mathbb{R}^n}|f(t)|^2dt<\infty$, можем да дефинираме преобразуванието на Фурие като линеен оператор $\mathcal{F}:L^2(\mathbb{R}^n)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^n)$, за който е изпълнено следното

• $\mathcal{F}f=\hat f, f\in L^1\cap L^2$,
• $\|\mathcal{F}f\|_{L^2}=\|f\|_{L^2}$.

Според теоремата на Планшерел операторът, който изпълнява горните условия е единствен и тогава можем да говорим за преобразувание на Фурие, дефинирано в $L^2(\mathbb{R}^n)$.

Преобразувание на Фурие за обобщени функции

Нека $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$, а $\mu\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ е обобщена функция. Тогава преобразуванието на Фурие $\hat\mu$ се дефинира като обобщената функция, дефинирана чрез равенството $\langle f,\mu\rangle=\langle\hat f,\hat m\rangle$.

Свойства на коефициентите на Фурие

Коефициентите на Фурие имат следните свойства:

• $\widehat{f+g}(n)=\hat f(n)+\hat g(n)$ за $f,g\in L^1(\mathbb{T})$;
• $\widehat{cf}(n)=c\hat f(n)$ за $c\in\mathbb{C}, f\in L^1(\mathbb{T})$;
• $\hat{\bar{f}}(n)=\overline{\hat f(n)}$ за $f\in L^1(\mathbb{T})$;
• Ако означим $f_\tau(t)=f(t-\tau), \tau\in\mathbb{T}$, то $\hat f_\tau(n)=\hat f(n)e^{-int}$ (транслация се преобразува в модулация);
• Ако означим $f^m(t)=e^{2\pi i mt}f(t), m\in\mathbb{Z}$, то $\hat f^m(n)=f(n-m)$ (модулация се преобразува в транслация);
• $\widehat{(f\ast g)}(n)=\hat f(n)\cdot \hat g(n)$ (конволюция се преобразува в произведение);
• Оценка на коефициентите: $|\hat f(n)|\le\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb{T}}|f(t)|dt.$

Непрекъснатост

Ако $f_j\in L^1(\mathbb{T}), j\in\mathbb{N}$ и $\|f_j-f_0\|_{L^1}\rightarrow 0$, то $\hat f_j(n)$ клони равномерно към $\hat f_0(n)$ за всяко n.

Сходимост

Сходимостта се изразява чрез лемата на Риман-Лебег.

За всяка функция $f\in L^1(\mathbb{T})$ е изпълнено $\lim_{|n|\to\infty}\hat f(n)=0$.