Преобразувание на Фурие

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Преобразуванието на Фурие има няколко значения. В началото се дефинира за абсолютно интегруеми функции, а посредством теоремата на Планшерел и за по-общи функции. Използва се като важен инструмент в хармоничния анализ и теорията на диференциалните уравнения.

Преобразувание на Фурие[редактиране | edit source]

Нека f е функция с период 2\pi, която разглеждаме като функция, дефинирана в интервала \mathbb{T}=[0,2\pi). С L^1(\mathbb{T}) означаваме банаховото пространство от функции f, за които е изпълнено \int_0^{2\pi}|f(t)|dt<\infty.

Преобразуванието на Фурие \hat f се дефинира чрез интеграла \hat f (n)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-2\pi i nt}dt, n \in \mathbb {Z}. Комплексното число \hat{f}(n) се нарича n-ти фуриеров коефициент или n-та честота на f.

Преобразувание на Фурие за n-мерно пространство[редактиране | edit source]

Нека f е функция от банаховото пространство L^1(\mathbb{R}^n), което съдържа всички абсолютно интегруеми функции върху \mathbb{R}^n. Преобразуванието на Фурие се дефинира чрез интеграла \hat f (\omega)=\int_{\mathbb{R}^n}f(t)e^{-2\pi i \langle \omega, t\rangle}.

Ако разглеждаме функциите f от хилбертовото пространство L^2(\mathbb{R}^n), т.е. всички фунцкии, за които \int_{\mathbb{R}^n}|f(t)|^2dt<\infty, можем да дефинираме преобразуванието на Фурие като линеен оператор \mathcal{F}:L^2(\mathbb{R}^n)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^n), за който е изпълнено следното

  • \mathcal{F}f=\hat f, f\in L^1\cap L^2,
  • \|\mathcal{F}f\|_{L^2}=\|f\|_{L^2}.

Според теоремата на Планшерел операторът, който изпълнява горните условия е единствен и тогава можем да говорим за преобразувание на Фурие, дефинирано в L^2(\mathbb{R}^n).

Преобразувание на Фурие за обобщени функции[редактиране | edit source]

Нека f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n), а \mu\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n) е обобщена функция. Тогава преобразуванието на Фурие \hat\mu се дефинира като обобщената функция, дефинирана чрез равенството \langle f,\mu\rangle=\langle\hat f,\hat m\rangle.

Свойства на коефициентите на Фурие[редактиране | edit source]

Коефициентите на Фурие имат следните свойства:

  • \widehat{f+g}(n)=\hat f(n)+\hat g(n) за f,g\in L^1(\mathbb{T});
  • \widehat{cf}(n)=c\hat f(n) за c\in\mathbb{C}, f\in L^1(\mathbb{T});
  • \hat{\bar{f}}(n)=\overline{\hat f(n)} за f\in L^1(\mathbb{T});
  • Ако означим f_\tau(t)=f(t-\tau), \tau\in\mathbb{T}, то \hat f_\tau(n)=\hat f(n)e^{-int} (транслация се преобразува в модулация);
  • Ако означим f^m(t)=e^{2\pi i mt}f(t), m\in\mathbb{Z}, то  \hat f^m(n)=f(n-m) (модулация се преобразува в транслация);
  • \widehat{(f\ast g)}(n)=\hat f(n)\cdot \hat g(n) (конволюция се преобразува в произведение);
  • Оценка на коефициентите: |\hat f(n)|\le\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb{T}}|f(t)|dt.

Непрекъснатост[редактиране | edit source]

Ако f_j\in L^1(\mathbb{T}), j\in\mathbb{N} и \|f_j-f_0\|_{L^1}\rightarrow 0, то \hat f_j(n) клони равномерно към \hat f_0(n) за всяко n.

Сходимост[редактиране | edit source]

Сходимостта се изразява чрез лемата на Риман-Лебег.

За всяка функция f\in L^1(\mathbb{T}) е изпълнено \lim_{|n|\to\infty}\hat f(n)=0.