Наредена двойка

Наредената двойка е понятие с фундамантално значение за математиката. То се използва при дефиницията на друго важно математическо понятие: функция. Наредена двойка се дефинира по-различен начин, но винаги така, че да са изпълнени следните две условия:

• за всяка наредна двойка могат да се определят точно два (не непременно различни) индивидууми единият, от които се нарича първи, а другия втори елемент на наредената двойка,
• за всеки два индивидууми $a$ и $b$ съществува точно една наредена двойка, така че $a$ да е нейният първи елемент, а $b$ - вторият.

Наредена двойка с първи елемент $a$ и втори елемент $b$ се бележи с $(a,b)$ или $\langle$$a,b$$\rangle$. Във формализираните на основата на теорията на множествата математически теории (вж. Никола Бурбаки) всеки математически обект е множество. Това позволява наредена двойка да се дефинира чрез $(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$ (предложение на Казимеж Куратовски, 1921 г.) или $(a,b):=$$\{\{\{a\},$$\!^\emptyset$$\},\{\{b\}\}\}$ (предложение на Норберт Винер, 1914 г.). Формално записана дефинцията на Куратовски гласи: Едно множество $A$ e наредена двойка тогава и само тогава, когато $\!^\exist$ $a$ $\!^\exist$ $b$ $(A=\{\{a\},\{a,b\}\})$.

Литература

• Куратовски К., Увод в теория на множествата и топологията, изд. "Наука и изкуство", София, 1979
• Deiser O., Einführung in die Mengenlehre, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20401-6
• Enderton H., Elements of Set Theory, Academic Press Inc., New York, 1977, ISBN 978-0122384400
• Hausdorff F., Grundzüge der Mengenlehre, Veit & Comp., Leipzig, 1914 (преиздадена от Chelsea, New York 1949, 1965, 1978)