Равнина (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Две пресичащи се равнини в триизмерното пространство.

Равнината в геометрията е основен двуизмерен обект.

В триизмерната координатна система, равнината може да се дефинира като множеството от точки, чиито координати удовлетворяват равенството:

ax + by + cz + d = 0,

където a, b, c и d са реални числа, и поне едно от a,b и c е различно от нула.

В евклидово пространство, една равнина се определя от:

  • три точки, нележащи на една права
  • права и точка, нележаща на правата
  • точка и права, перпендикулярна на равнината
  • две пресичащи се или успоредни прави, също определят една равнина.

В триизмерното пространство, две различни равнини или се пресичат в права или са упоредни. Права, която не е успоредна на равнината, я пресича в една точка.

Равнина, определена от точка и нормален вектор[редактиране | edit source]

За точката  P_0 = (x_0,y_0,z_0) и вектора \vec{n} = (a, b, c) , уравнението на равнината изглежда така:

 ax + by + cz = a x_0 + b y_0 + c z_0

за равнината, минаваща през т.  P_0 и перпендикулярна на вектора \vec{n}.

Равнина, определена от 3 точки[редактиране | edit source]

Уравнението на равнина, минаваща през 3 точки  P_1 = (x_1,y_1,z_1) ,  P_2 = (x_2,y_2,z_2) и  P_3 = (x_3,y_3,z_3) може да бъде представено по следния начин:

 \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\
x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0

Разстояните от точка до равнина[редактиране | edit source]

За точката  P_1 = (x_1,y_1,z_1) и равнината ax + by + cz + d = 0, разстоянието от  P_1 до равнината е:

 D = \frac{\left | a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Ъгъл между две равнини[редактиране | edit source]

Ъгълът между равнините a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 и a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0 е

 \cos {(\alpha)} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}} .