Равнина (математика)

Две пресичащи се равнини в триизмерното пространство.

Равнината в геометрията е основен двуизмерен обект.

В триизмерната координатна система, равнината може да се дефинира като множеството от точки, чиито координати удовлетворяват равенството:

$ax + by + cz + d = 0$,

където a, b, c и d са реални числа, и поне едно от a,b и c е различно от нула.

В евклидово пространство, една равнина се определя от:

• три точки, нележащи на една права
• права и точка, нележаща на правата
• точка и права, перпендикулярна на равнината
• две пресичащи се или успоредни прави, също определят една равнина.

В триизмерното пространство, две различни равнини или се пресичат в права или са упоредни. Права, която не е успоредна на равнината, я пресича в една точка.

Равнина, определена от точка и нормален вектор

За точката $P_0 = (x_0,y_0,z_0)$ и вектора $\vec{n} = (a, b, c)$, уравнението на равнината изглежда така:

$ax + by + cz = a x_0 + b y_0 + c z_0$

за равнината, минаваща през т. $P_0$ и перпендикулярна на вектора $\vec{n}$.

Равнина, определена от 3 точки

Уравнението на равнина, минаваща през 3 точки $P_1 = (x_1,y_1,z_1)$, $P_2 = (x_2,y_2,z_2)$ и $P_3 = (x_3,y_3,z_3)$ може да бъде представено по следния начин:

$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0$

Разстояните от точка до равнина

За точката $P_1 = (x_1,y_1,z_1)$ и равнината $ax + by + cz + d = 0$, разстоянието от $P_1$ до равнината е:

$D = \frac{\left | a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Ъгъл между две равнини

Ъгълът между равнините $a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0$ и $a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0$ е

$\cos {(\alpha)} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$.