Аритметична прогресия

Аритметичната прогресия е числова редица, в която всеки член след първия се получава от своя предходен, като се прибави едно и също число. Числото, което се прибавя, се нарича разлика на прогресията и се означава с $d$. Съгласно тази дефиниция

$a_2 = a_1 + d, a_3 = a_2 + d, ... ,a_n = a_{n-1} + d, ...$.

Една аритметична прогресия е определена, ако се знае първия ѝ член $a_1$ и разликата $d$.

Общ член на аритметична прогресия

Формулата за общия член на аритметична прогресия е

$\ a_n = a_1 + (n - 1)d$.

Свойства на аритметичната прогресия

• Сборът от първия и последния член на крайна аритметична прогресия е равен на сбора на всяка двойка равноотдалечени от началото и края й членове. Нека прогресията е

$\ a_1, a_2, a_3, ... ,a_{n-1}, a_n$.

Тогава

$\ a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = ...$.

• Всеки член на аритметичната прогресия

$\ a_1, a_2, ... , a_{i-1}, a_i, a_{i+1}, ... ,a_n, ...$

след първия е средно аритметичен на съседните си членове:

$\ 2 a_i = a_{i-1} + a_{i+1}$ за всяко $\ i\geq 2$.

• Обратно твърдение: Ако $\ a_1, a_2, ... ,a_n, ...$ е числова редица, в която всеки член след първия е средно аритмеетичен на съседните си членове, тази редица е аритметична прогресия.

Сума на първите n члена на аритметична прогресия

Да означим с S_nсумата на първите n члена на аритметичната прогресия

$a_1, a_2, ... ,a_n, ...$.

Тогава

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} n$.

Като имаме пред вид, че

$a_n = a_1 + (n - 1) d$,

то

$S_n = \frac {2 a_1 + (n - 1) d}{2} n$.

Приложения

• Сумата на първите n естествени числа е

$1 + 2 + ...+ n = \frac {n + 1}{2} n$.

• Сумата от квадратите на първите n естествени числа е

$1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n}{6} (n + 1) (2 n + 1)$.

Вижте също

• Геометрична прогресия