Аритметична прогресия
от Уикипедия, свободната енциклопедия
Аритметичната прогресия е числова редица, в която всеки член след първия се получава от своя предходен, като се прибави едно и също число. Числото, което се прибавя, се нарича разлика на прогресията и се означава с d. Съгласно тази дефиниция
- a2 = a1 + d,a3 = a2 + d,...,an = an − 1 + d,....
Една аритметична прогресия е определена, ако се знае първия ѝ член a1 и разликата d.
Съдържание |
[редактиране] Общ член на аритметична прогресия
Формулата за общия член на аритметична прогресия е
an = a1 + (n − 1)d.
[редактиране] Свойства на аритметичната прогресия
- Сборът от първия и последния член на крайна аритметична прогресия е равен на сбора на всяка двойка равноотдалечени от началото и края й членове. Нека прогресията е
- a1,a2,a3,...,an − 1,an.
Тогава
- a1 + an = a2 + an − 1 = ....
- Всеки член на аритметичната прогресия
- a1,a2,...,ai − 1,ai,ai + 1,...,an,...
след първия е средно аритметичен на съседните си членове:
- 2ai = ai − 1 + ai + 1 за всяко i ≥ 2.
- Обратно твърдение: Ако a1,a2,...,an,... е числова редица, в която всеки член след първия е средно аритмеетичен на съседните си членове, тази редица е аритметична прогресия.
[редактиране] Сума на първите n члена на аритметична прогресия
Да означим с Snсумата на първите n члена на аритметичната прогресия
- a1,a2,...,an,....
Тогава
.
Като имаме пред вид, че
- an = a1 + (n − 1)d,
то
.
Приложения
- Сумата на първите n естествени числа е
.
- Сумата от квадратите на първите n естествени числа е
.
