Геометрична прогресия

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката геометрична прогресия е редица от числа, в която първото число е различно от нула, а всяко друго число е получено от предишното чрез умножение с константа, различна от нула. Тази константа се нарича частно. Например редицата 2, 4, 8, 16, ... е геометрична прогресия с първи член 2 и частно 2, а геометричната прогресия 20, 10, 5,... е получена чрез умножение с 1/2. Първата е пример за растяща, а втората - за намаляваща прогресия.

За всяка геометрична прогресия

a_1, a_2, ... ,a_n, ...

е в сила a_n = a_{n-1} q, където q ≠ 0 е частното на прогресията. Очевидно една геометрична прогресия е напълно определена, ако знаем първия ѝ член и частното.

Формула за общия член[редактиране | edit source]

Формулата за n-тия член на прогресията е:

a_n = a_1 q^{n-1}.

Анализ на частното[редактиране | edit source]

  • q < 0 - ще се получи редуване на положителни и отрицателни числа,
  • q > 1 - клоняща към плюс безкрайност редица,
  • q < -1 - ще се получат 2 редици - едната, клоняща към минус безкрайност, а другата - към плюс безкрайност,
  • - 1 < q < 1 - редицата клони към 0,
  • q = 0 - редицата се състои само от нули, с изключение на първия член.

Свойства[редактиране | edit source]

  •  a_{n}^2 = a_{n-1} a_{n+1}

за всяко n ≥ 2, т. е. всеки член на геометричната прогресия след първия е средно геометричен на съседните си членове.

В сила е и обратното твърдение: Ако a_1, a_2, ... ,a_n, ... е числова редица с ненулеви членове, в която всеки член след първия е средно геометричен на съседните си членове, то тази редица е геометрична прогресия.

Логаритмите на членовете на геометрична прогресия образуват аритметична прогресия.

Сума на геометричната прогресия[редактиране | edit source]

Сумата на първите n члена на геометричната прогресия е

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = \sum_{i=1}^n a_i = a_1 \sum_{i=0}^{n-1} q^i

или

S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \dots + a_1q^{n-1}\,\,\,\,\, (1).

Когато умножим двете страни на уравнение (1) по частното q полуаваме:

qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + a_1q^4 + \dots + a_1q^n\,\,\,\,\, (2)

Когато извадим почленно (2) от (1), получаваме (забелязваме, че от членовете от a_1q до a_1q^{n-1} се повтарят в (1) и (2), т.е. при изваждане се съкращават и след изваждането, отдясно остават единствено a_1 и a_1q^n:

S_n - qS_n = a_1 - a_1q^n.
S_n(1 - q) = a_1(1 - q^n).

Което ни дава формулата за сбор на първите n члена на арифмитическая прогресия

S_n = {a_1(q^n -1)\over ( q-1 )} при \! q \ne 1.
S_n = na_1\, при \!q = 1.

Ako \left| q \right|<1, то  q^n \to 0 и

\lim_{n\to\infty}{S_n} = {a_1 \over 1-q}

Вижте също[редактиране | edit source]