Математика

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Формули

Най-общо казано, математиката представлява съвкупността от знания, отнасящи се до идеите за количествените отношения, строежа (структурата), пространството и промяната на дадени системи. Математика се нарича още науката, която се занимава с проблемите, възникващи при изследването на горепосочените понятия и връзките между тях. Един от първите изследователи на философията на математиката, Бенджамин Пърс, я определя като „науката, която (се стреми да) съставя необходими заключения“. Друго схващане за математиката пък е това, че тя е наука за базовите закономерности (модели) в Природата като цяло, било то реална или мисловна.

Работата на математиците е да изучават вече зададени теории и да търсят чисто нови модели в областта на числата, време-пространството, философията, компютърните структури и т.н. Основно математиците изследват дадени научни постановки в някоя от тези области, като се стремят да формулират нови догадки (наричани хипотези), които по-подробно, по-ясно да обяснят зависимостите в съответната наука. След като се съчинят достатъчно хипотези, се работи над това да се установи тяхната достоверност, следвайки правилата на математическата логика. По повод този подход френската математичка Клеар Войси казва, че „има една творческа гонитба в математиката, която се свежда до това напредъкът да обясни себе си“.

Когато на даден етап успешно се състави „достатъчно“ пълен математическия модел на някакво природно или мисловно явление и се докаже неговата логическа достоверност, математиците могат да използват този модел, за да предвиждат бъдещето развитие на изследваното събитие. Важно е да се отбележи, че не всеки логически издържан модел е нужно да се окаже опитно издържан, т.е. всеки експеримент да съответства (с точност до статистическа грешка) на направените въз основа дадения модел предположения. По тази причина се прави неписано разграничение между математика и физика, където първата се отнася до изследването на всякакви, включително напълно абстрактни, феномени, докато втората наука изучава преобладаващо „действителни“ природни събития.

Математическият апарат се използва в разнообразни дялове на живота. Тя съставя основите на природните науки и инженерството и се използва още в медицината, финансите и социалните науки. Въз основа на това каква насоченост има, математиката може да се раздели на чиста и приложна.

Етимология[редактиране | edit source]

Думата матема̀тика произлиза от старогръцката дума μάθημα (ма̀тема), която означава „наука, знание, познание“, но още в Древна Гърция се използва и в смисъла на „математическа наука“. Прилагателното μαθηματικός (математикòс) означава „свързан с учението“, но също и „математически“. До около XVII-ти век в Европа под „математика“ повече се е разбирало това, което днес наричаме астрология, но с повишаването на научната ѝ приложимост тя започва да се разглежда самостойно, като дори след време Гаус (1777 - 1855) я нарича „кралицата на всички науки“.

История и развитие[редактиране | edit source]

Възникване[редактиране | edit source]

Математиката, като вечно-разширяваща се съвкупност от абстракции и изследване на връзките между тях, е разбираема на живите същества от дълбока древност. С цел оцеляване, животът във всевъзможните му форми се е приспособил да сравнява количествено разни събития – от къде идва повече светлина, кой път е по-кратък, къде има повече храна. Така че появата на математическа мисъл предшества дори появата на човека като вид.

Математиката възниква като наука с появата на цивилизования начин на живот през IV-III хил. пр. Хр. Но дори преди този период хората са имали нужда да отброяват разни неща, което съдим по намерени при разкопки сметала, направени от кости.

Първата по-сериозна математика се развива в Древен Египет, Месопотамия и в долината на Инд. На тези места сезонното поведение на големите реки Нил, Тигър и Ефрат и Инд позволява развитието на уседнал, земеделски начин на живот. Това обаче подтиква развитието на астрономията, за да се следи времето и хората да знаят кога да засаждат и прибират реколтата, на аритметиката и на геометрията, които са били нужни за целите на данъчното облагане, строителството, а по-късно намират приложение и във военното дело и изкуството. От тази епоха датират най-древните математически писмени трудове, сред които се открояват вавилонската глинена плочка Plimpton 322 и Райдонския египетски свитък.

Античен и средновековен период[редактиране | edit source]

По време на египетско-месопотамския период се развива особено аритметиката, астрономията и простата геометрия. Основен проблем обаче бил, че повечето математически резултати били използвани най-вече „наизуст“. Първият систематично издържан подход към математиката прилагат древните гърци. Тяхна заслуга е схващането да се използва система от утвърдени „истини“, наричани аксиоми, въз основа на които се доказва верността на по-сложни твърдения, наричани теореми. Древните гърци развиват до значително ниво геометрията, стереометрията, теорията на числата, комбинаториката и „диофантовата“ алгебра. Тяхна заслуга е и абстракцията за безкрайност. Един от най-важните трудове от тази епоха е „Елементи“ на Евклид от Александрия, както и идеите на Архимед, някои от които се явяват предшественици на математическия анализ.

С възхода на Римската империя и теологичните противоборства в нейните рамки, както и с увеличаването на нашествията на варварски народи към Европа, математиката в елинистичния свят замира. Центърът на развитие се пренася на изток в Китай, Индия и по-късно в мюсюлманския свят. Най-важното нововъведение на тази школа е използването на така наречените „арабски“ цифри и цифрата нула, въведени за първи път от индийците. Преди това математиката е приличала повече на съчинение, където всичко се обяснявало с думи, така че новият подход с използването на знаци и цифри значително улеснява извършването на тривиални (от съвременна гледна точка) сметки. През IX-ти век арабите поставят и основите на алгебрата (кръстена на Мохамeд ал Хорезми) в познатия ни днес вид като наука, която се стреми да решава абстрактни задачи и да създава абстрактни модели на често срещани „конкретни“ математични зависимости.

Математиката през Ренесанса и Просвещението[редактиране | edit source]

През XIV-XV век в Европа се развила търговията и икономиката, което дало тласък на изкуството, философията и предприемачеството. Образувала се средна класа и постепенно върховното влияние на църквата върху живота на хората отслабнало. Това дало своето отражение и върху науката, в частност математиката. През XVI-XVII век се развила астрономията, било описано движението на видимите по онова време планети, а Декарт дал основите на аналитичната геометрия, чрез която орбитите на планетите били изразени с математични формули. По-късно Нютон и Лайбниц поставили основите на интегралното и диференциално смятане, Нютон предложил първите реалистични механични закони и чрез тях дал математическо обяснение на планетарните движения. Този напредък в разбирането на Вселената с помощта на логически издържан математически апарат дал силен тласък в развитието на математиката, физиката и техниката през следващите векове.

Математиката през Индустриалната революция[редактиране | edit source]

Въз основа на идеите на Просвещението и подтикнати от индустриалната революция, развитието на демократичните ценности и нарастването на човешкото население, през следващите XVIII и XIX век са положени основите на функционалния анализ (Ойлер и братя Бернули), теорията на групите (от Абел и Галоа), вариационното смятане (Ойлер и Лагранж), хармоничния анализ (Фурие), статистиката и теорията на вероятностите (Лаплас), диференциалната геометрия (Риман и Гаус), неевклидовата геометрия (Лобачевски и Бояй), топологията (Поaнкаре) и др. Заедно с откритията в електрониката, машиностроенето и медицината този научен потенциал води до забележителното технологично развитие през XIX-XX век, но и позволява практическото осъществяване на ужаса на двете световни войни.

Съвремие[редактиране | edit source]

След появата на компютъра, интернет и възможностите за съвместна работа на огромен брой учени, в развитието на математиката все повече се разчита на изчислителната мощ на съвременните компютри и на колективната работа в екип. Така например през 1976 беше доказана с помощта на компютър теоремата за оцветяване на равнинна карта само с четири цвята, а в периода 1995-2004 екип от повече от 100 учени успяха да направят квалификация на крайните прости групи.

Като основна задача пред съвременната математика се смята опростяване и систематизиране за нуждите на образованието на получените резултати, както и решаване на някои особено трудоемки задачи, като например седемте основни задачи на хилядолетието, за решаването на която и да е от тях институтът по математика „Клей“ предлага по 1 000 000 долара.

Математически език и подход на разсъждаване[редактиране | edit source]

Език на математиката[редактиране | edit source]

Езикът на математиката се развива заедно със самата наука. Така например елинистичната математика използва думи и изречения, за да изкаже каквото и да е математическо твърдение. Впоследствие обаче, индо-арабската школа въвежда използването на символи, които се съчетават в математични изрази, наричани формули. Към началото на 21 век вече се е установило като правило, че с първите букви от латиницата се обозначават параметри (примерно коефициентите на полином или страните на многоъгълник), с последните – неизвестни величини, а гръцките букви се използват в геометрията за обозначаване на ъгли, отношения и др. Тези неписани правила са въведени през XVIII век от Ойлер.

Символи се използват и за да заместват думи или цели изрази. Например символът ∈ в теорията на множествата означава „принадлежи на“, ∃ замества „съществува“, ⇒ ще рече „верността на предходното твърдение е предпоставка за верността на последвалото“. Повечето от символите, с които се означават различни операции и функции са дадени в Таблица на математически символи.

Математиката борави с точно въведени понятия, поради което често науките, които почиват върху нейните основи, се наричат точни науки. Например, в математиката понятия като множество, клас, група, категория, които в ежедневния език може да се използват и като синоними, имат свое „строго“, различно значение.

Математически подход на работа[редактиране | edit source]

Математиците използват системи от абстракции и аксиоми, чрез които съставят научни догадки, които после се стремят да докажат, следвайки правилата на логиката. Съвкупност от причинно-следствено обвързани доказани твърдения, които образуват някаква „научна цялост“, се наричат теория.

Всяка теория обикновено започва с изброяване на абстрактни понятия и позволени операции. Абстракциите са идеята за предмети, с които може да се извършват определен набор от операции, но които нямат конкретна реална стойност, или пък за действия, които теоретично може да се изпълнят. Примерно, числата са абстракция за брой – числото 7 обозначава количество, което се повтаря седем пъти, независимо дали говорим за 7 дни в седмицата, 7 круши в кошницата или 7 метра дължина. Параметрите пък са по-сложна абстракции за числова стойност, дължина на отсечка или друго количество (в зависимост от ситуацията), с които могат да се извършват аритметични операции. Събирането пък е пример за абстрактна операция с числа или параметри, която мисловно замества евентуалното реално увеличаване в количеството круши или удължаването на дадена действителна отсечка.

След това е нужно да се посочи система от аксиоми. Това са „самодоказващи се правила“, за които се прави уговорката, че са верни по допускане (без доказателство). Това са първичните закони, които показват какви логически действия имаме право да използваме в съответната теория. Така например a+b=b+a е аксиома, известна като комутативност. Тя е едно от основните правила на елементарната аритметика. Освен ако не допуснем като аксиоми по-прости правила, това свойство няма как да се докаже и се приема като даденост. (Това, разбира се, не значи, че тази аксиома е нужно да важи навсякъде извън рамките на аритметиката на числата.)

Когато бъде посочено с какви обекти се работи, какви операции могат да се извършват с тях и какви основни закони трябва да спазват, в развитието на математичната теория се преминава към съставяне на научни хипотези. Те може да имат както построителен, така и качествен характер. За доказателството им се използват дадените аксиоми, както и по-рано доказани твърдения, като целта е да не се получават логически противоречия. Ако такива се появят, значи аксиоматиката и наборът описани операции са логически неиздържани. Един от типичните видове логически противоречия са парадоксите – твърдения, за които от верността им следва факт, който им противоречи, а пък от грешността им следва факт, който ги потвърждава. Един от най-известните парадокси е този на Ръсел, който се състои в това, че съвкупността M≔{A|AA} няма как да е множество, иначе MMMM. Той е в основата на развитието на аксиоматичната теория на множествата.

В миналото математиците са се надявали да съставят пълна (крайна) система от абстракции и аксиоми, които да докажат всяко теоретически правилно математично твърдение. Това е била основната цел на програмата на Хилберт. В последствие обаче Гьодел доказал, че подобна задача е логически неизпълнима, съгласно неговата теорема за незавършеността. С нея той демонстрирал как може да бъде конструирано формално твърдение, което е истинен факт от теорията на числата, но не следва от аксиомите, на които се основава тя, независимо как са съставени.

Опитно проверяване на теория[редактиране | edit source]

Нерядко, особено в приложната математика, се налага да се провери дали логически издържана и привидно пълна теория описва достатъчно добре дадено реално събитие. За целта се правят научни опити или (компютърни) симулации.

Области на математиката[редактиране | edit source]

Математиката най-общо може да се раздели на изследване на количествата, структурите, пространството и измененията – съответно предмет на аритметиката, алгебрата, геометрията и анализа. В допълнение към тези основни подразделения има и няколко други, изследващи връзките между ядрото на математиката и други научни, философски и технически области.

Основи и философия на математиката[редактиране | edit source]

Подобластите на математическата логика и теорията на множествата възникват, за да изяснят недвусмислено строежа и начина на разсъждаване в математиката. Математическата логика включва математическото изследване на логиката и прилагането на формално мислене към останалите области на математиката, а теорията на множествата изучава какво трябва да се разбира под съвкупност от обекти, без да възникват парадокси като този на Ръсел. Тяхната основна задача е да постави математиката в твърда аксиоматична рамка и да изследва последствията от това (до колкото това е възможно). Теорията на категориите пък разглежда математическите структури и отношенията между тях от най-обобщена абстрактна гледна точка. Тя все още е в процес на развитие.

Исторически тези области на математиката са развити относително късно – в периода около 1900-1930.[1] По това време няколко принципни спора, като тези за теорията на Кантор и противоречията между Лойцен Егбертус Ян Брауер и Давид Хилберт, пораждат нуждата от по-строги основи на математиката. Говори се дори за „криза на основите“. Известни разногласия за основите на математиката се запазват и до наши дни.

Съвременната математическа логика се подразделя на теория на рекурсията, теория на моделите и теория на доказателствата и е тясно свързана с теоретичната информатика.

 p \Rightarrow q \, Venn A intersect B.svg Commutative diagram for morphism.svg
Математическа логика Теория на множествата Теория на категориите

Чиста математика[редактиране | edit source]

Чистата математика се занимава с абстрактни постановки и задачи, които нямат практическа насоченост. Апаратът, който тя развива, има голям обхват на приложимост в различни дялове на науката и живота.

Количество

Изследването на количествата започва с абстракцията число. Основният пример за такива са обичайните естествени и цели числа, с които сме в състояние да изградим дискретната математика. Основните операции, които могат да се извършват с числа, се изучава от аритметиката. Аритметичните свойства на целите числа се изследват по-задълбочено от теорията на числата. Изследването на естествените числа довежда до идеята за трансфинитните числа, с които се дефинира формално безкрайността. Друга гледна точка за безкрайността е отразена в кардиналните числа, използвани за сравнение на размера на безкрайно големи множества чрез концепцията за мощност.

Основен недостатък на целите числа е, че не винаги сме в състояние да разделим две цели числа едно на друго (без остатък) и да получим цяло число. За да се превъзмогне този слабост, по-късно са развити рационалните числа. Те от своя страна са надградени от реалните числа, чрез които вече могат да описват непрекъснатиструктури. Идеята за реалните числа е обобщена от тази за хиперреалните числа, чрез които (с помощта на филтри) може да се изгради диференциалният анализ без необходимостта на идеята за сходимост. Алгебрично реалните числа са надградени от комплексните числа. Те са най-малкото числово поле, което е алгебрически затворено. Комплексните числа също могат да се разширят алгебрически – следващите стъпки в тази насока са кватернионите и другите хиперкомплексни числа. При този процес обаче се губят някои аритметични свойства.

1, 2, 3\,...\! ...-2, -1, 0, 1, 2\,...\!  -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\! -e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\! 2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!
Естествени числа (ℕ) Цели числа (ℤ) Рационални числа (ℚ) Реални числа (ℝ) Комплексни числа (ℂ)

Структура

Много математически обекти, като числовите множества и функциите, имат вътрешна структура, проявяваща се при прилагане върху тях на различни операции и релации. Предмет на математиката е да изучава и ако е възможно, да обобщава, тази структура. Комбинаториката например изучава начините, по които обекти се вместват в дадена структура.

Често различни математически категории проявяват сходни свойства, което дава възможност чрез повишаване на нивото на абстракция да се постулират обобщени аксиоми за цели класове структури, което се прави с цел да се изследват наведнъж. Така се появяват изследванията на групите, пръстените, полетата, векторните пространства и други обобщени системи, които са в основата на абстрактната алгебра. Поради силната си обобщеност, абстрактната алгебра често се прилага при привидно несвързани задачи. Например, наборът от задачи от Античността, свързани с построението с линийка и пергел на разни фигури, в крайна сметка са решени с помощта на теорията на Галоа. Друг пример за структурна теория е линейната алгебра, която представлява обобщено изследване на линейните пространства, чиито елементи, векторите, имат едновременно размер и посока и се използват за моделиране на отношения между точки в пространството.

Проявление на изучаването на математическия строеж е и теорията на представянията, която изследва как елементите на математични структури могат да се представят като линейни преобразувания на векторни пространства. По този начин може да се опрости изучаването на по-сложни структури, като използваме добре разучените качества на линейната математика, както и могат да се търсят връзки между различни видове структури.

\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix} Elliptic curve simple.svg Rubik's cube.svg Group diagdram D6.svg Braid-modular-group-cover.svg
Комбинаторика Теория на числата Теория на групите Теория на графите Алгебра

Пространство

Математическото изследване на пространството се занимава с абстракциите за положение, отдалеченост, повърхнина, взаимоотношение между обекти и др. То води началото си от геометрията и по-специално от евклидовата. Изучаването на пространството често използва математическия апарат от други раздели на математиката. Тригонометрията, например, е клон на геометрията, който разглежда отношенията между страните и ъглите на равнинни многоъгълници и обемни многостени с помощта на тригонометрични функции. По този начин се съставя количествено (числово) описание на пространството. Съвременното изучаване на пространството надгражда тази концепция, като преплитането на числовите и пространствени величини са в основата на аналитичната, диференциалнатаи алгебричната геометрия. Диференциалната геометрия включва математическия анализ на многообразиятаи кривите, като използва векторен и тензорен анализ. В центъра на алгебричната геометрия пък е разглеждането на геометрични обекти като множества от решения на алгебрични уравнения, както и изучаването на топологичните групи.

Други съвременни насоки на развитие са многомерните геометрии и неевклидовите геометрии, които играят важна роля в математичната физика. В последно време все по-голямо приложение намира и използването на компютърните технологии, с чиято помощ могат да се пресъздават, непосилни едно време заради сложността си, пространствени симулации.

Друга гледна точка към разбирането на пространството предлага топологията, която е сред най-бързо развиващите се математически области през XX век. При нея интерес представляват повече свързаността и структурното подобие между пространствени обекти, отколкото конкретната им форма или размери. Поддялове на топологията са общата, алгебричната и диференциалната топология. По-конкретни направления са теориите за метризуемостта или за хомотопията, теорията на Морс и др.

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg Sine cosine plot.svg Hyperbolic triangle.svg Torus.png Mandel zoom 07 satellite.jpg
Геометрия Тригонометрия Диференциална геометрия Топология Фрактална геометрия

Изменение

Разбирането и описването на промените е обичаен проблем на естествените науки. Математическият анализ възниква и се развива като способ за неговото разрешаване. Основното средство за постигането на тази цел е концепцията за функциите. Изследването на реалните числа и функциите на реални променливи се нарича реален анализ, а съответната област, занимаваща се с комплексните числа – комплексен анализ. Много природни явления се свеждат до зависимости между величини и степента на тяхната промяна, които се описват с диференциални уравнения. С изменението на цели системи пък се занимава теорията на стабилността и динамичните системи. Примери за по-специализирани области на математическия анализ са функционалният анализ, който изучава пространствата от функции, обикновено с безкраен брой измерения, и теорията на хаоса, която изследва сложността на динамични системи.

Като цяло математическият анализ служи като апарат за изучаване на другите предмети на математиката и затова е силно преплетен с тях.

Integral as region under curve.svg Vector field.svg Airflow-Obstructed-Duct.png Lorenz attractor.svg Princ Argument C1.svg
Математически анализ Векторен анализ Диференциални уравнения Теория на хаоса Комплексен анализ

Приложна математика[редактиране | edit source]

Приложната математика се занимава с предоставяне на математически методи, чрез които да се решават задачи от други полета на науката и живота. Към нея се включват всички математични теории, чиято основна цел е да разрешат точно определени, неабстрактни задачи. Нерядко в миналото приложни дялове на математиката са дали основа за развитието на области от чистата математика, затова не може да се прави строго разграничение между тези два типа математика.

Gravitation space source.png Signal transduction pathways.svg Ch4-structure.png
Математическа физика Математическа биология Математическа химия

Статистика и изследване на операции

Предмет на статистиката и изследването на операции (на английски: Operations research) е да събират и в последствие да анализират данни или пък да тестват научни предположения. Това се извършва като се съставят на опити, които да предоставят такъв набор от сведения, които да потвърдят или оборят съвместимостта на някоя математична теория с реалността. За решаването на тази задача е нужно да се избере подходяща „случайна“ извадка от реализации на изследваното събитие, да се извлекат нужните сведения от нея и да се приложи статистически анализ на получената информация. Основният математически апарат, с който борави този поддял на приложната математика, е теорията на вероятностите и статистиката.

Част от изследването на операции е и теорията на на стоxастичните процеси, теорията на игрите, финансовата математика и теорията на контрола. Те се използват, за да се пресъздава поведението на определена система, като въз основа на проведената симулация да се направи научен извод. Той може да бъде предложение за вземане на някакво решение, съвет как да се подобри работа на системата или математическа прогноза как тя (вероятно) ще се развива в бъдеще.

Two red dice 01.svg Oldfaithful3.png Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png Arbitrary-gametree-solved.svg GDP PPP Per Capita IMF 2008.png
Теория на вероятностите Статистика Математически финанси Теория на игрите Математическа икономика

Изчислителна математика

Този дял на приложната математика има за цел да реши задачи, които изискват изчислителен ресурс, надвишаващ човешките способности. За целта се разчита основно на компютри, но самата изчислителна математика има основи много преди тяхната поява. Още от дълбока древност, например, се търси начин нерационални числа и обекти да се приближат с рационални такива, заради по-лесното работене с вторите. Друга важна задача на числения анализ е да се определи с помощта на функционалния анализ стойността на произволни функции с набелязана предварително точност. Част от задачите на изчислителната математика е и оптимизирането на бързодействието и точността на вече намерени изчислителни методи.

Тези проблеми между впрочем стоят зад създаването на съвременния компютър. След неговата поява към областта на изчислителната математика се прибавят нови раздели като компютърната логика, теорията за сложността и теорията на информацията.

Composite trapezoidal rule illustration small.svg Maximum boxed.png Caesar3.svg Wang tiles.png
Числен анализ Оптимизиране Криптография Изчислимост

Бележки[редактиране | edit source]

  1. ((en)) Hodgkin, Luke Howard и др. A History of Mathematics. Oxford University Press, 2005.

Вижте още[редактиране | edit source]

Външни препратки[редактиране | edit source]