Математика

Математиката представлява съвкупността от знания, изучаващи понятия като количество, структура, пространство и промяна. Тя също би могла да се дефинира като наука, която се занимава с горепосочените понятия, с пространствените форми и количествените отношения. Бенджамин Пърс я определя като „науката, която съставя необходими заключения“. Други специалисти по математика твърдят, че математиката е наука за моделите и че математиците търсят модели (закономерности) в областта на числата, пространството, науката, компютрите и т.н. Математиците често изследват подобни понятия с цел да формулират нови хипотези и да установят тяхната достоверност, служейки си с първични понятия, аксиоми, теореми, доказателства, спазвайки правилата на логиката.

Има някои вътрешни за математиката дисциплини, които служат за обосноваване на получените от нея резултати, за намиране и изучаване на общи за различните математически дисциплини закономерности и за подпомагането им. Такива са, например теорията на множествата, математическата логика, алгебрата, топологията и функционалният анализ.

Математиката може да се раздели на чиста и приложна.

Етимология [редактиране]

Думата матема̀тика произлиза от старогръцката дума μάθημα (ма̀тема), която означава „наука, знание, познание“, но още в Древна Гърция се използва и в смисъла на „математическа наука“. Прилагателното μαθηματικός (математикòс) означава „свързан с учението“, но също и „математически“.

Области на математиката [редактиране]

Математиката най-общо може да се раздели на изследване на количествата, структурите, пространството и измененията – аритметика, алгебра, геометрия и анализ. В допълнение към тези основни подразделения има и няколко други, изследващи връзките между ядрото на математиката и други научни, философски и технически области.

Количество [редактиране]

Изследването на количествата започва с числата, първо обичайните естествени и цели числа, и аритметичните действия с тях, разглеждани от аритметиката. Свойствата на целите числа се изследват по-задълбочено от теорията на числата, един от популярните изводи на която е последната теорема на Ферма. Изследването на естествените числа довежда до идеята за трансфинитните числа, с които се дефинира формално безкрайността. Друга гледна точка за безкрайността е отразена в кардиналните числа, използвани за сравнение на размера на безкрайно големи множества чрез концепцията за мощност.

С развитието на числовата система целите числа започват да се разглеждат като подмножество на рационалните числа, а те от своя страна – на реалните числа, които могат да описват непрекъснати величини. Идеята за реалните числа е обобщена в тази за комплексните числа, първата стъпка в поредица от числови множества, включваща кватернионите и останалите хиперкомплексни числа.

$1, 2, 3\,...\!$	$...-2, -1, 0, 1, 2\,...\!$	$-2, \frac{2}{3}, 1.21\,\!$	$-e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\!$	$2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!$
Естествени числа	Цели числа	Рационални числа	Реални числа	Комплексни числа

Структура [редактиране]

Много математически обекти, като числовите множества и функциите, имат вътрешна структура, проявяваща се при прилагане върху тях на различни операции и релации. Математиката изучава и тази структура. Комбинаториката, например, изучава начините, по които обектите могат да се вместят в дадена структура.

Често различни структурирани обекти (математически структури) проявяват сходни свойства, което дава възможност за постулирането на аксиоми за цели класове структури и тяхното общо изследване. Така се появяват изследванията на групи, пръстени, полета и други обобщени системи, които са в основата на абстрактната алгебра. Поради силната си обобщеност, абстрактната алгебра често се прилага при привидно несвързани задачи. Например, няколко задачи от Античността, свързани с построения с линийка и пергел в крайна сметка са решени с помощта на теорията на Галоа, която включва теориите на полетата и групите.

Друг пример за алгебрична теория е линейната алгебра, която представлява обобщено изследване на линейните пространства, чиито елементи, векторите, имат едновременно размер и посока и се използват като модел на точки от пространството и някои връзки между тях. Това е един пример за това, как първоначално несвързани области, като геометрията и алгебрата, в значителна степен се смесват в съвременната математика.

$\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}$
Комбинаторика	Теория на числата	Теория на групите	Теория на графите

Пространство [редактиране]

Математическото изследване на пространството води началото си от геометрията, по-специално от евклидовата геометрия. Тригонометрията е клон на математиката, който разглежда отношенията между страните и ъглите в триъгълниците и тригонометричните функции, като комбинира пространство и числа.

Съвременното изучаване на пространството обобщава тези идеи, за да обхване многоизмерните геометрии и неевклидовите геометрии, които играят важна роля във физиката и топологията. Числовите и пространствени величини са основни в аналитичната геометрия, диференциалната геометрия и алгебричната геометрия. Диференциалната геометрия включва математическия анализ на многообразия, в частност векторния и тензорен анализ. В центъра на алгебричната геометрия е разглеждането на геометрични обекти като множества от решения на полиномни уравнения, както и изучаването на топологичните групи.

Топологията, със своите множество разклонения, е сред най-бързо развиващите се математически области през 20 век. Тя включва обща топология, алгебрична топология и диференциална топология. Примери от областта на топологията са теорията за метризуемостта, теорията за хомотопията, теорията на Морс.


Геометрия	Тригонометрия	Диференциална геометрия	Топология	Фрактална геометрия

Изменение [редактиране]

Разбирането и описването на промените е обичаен проблем на естествените науки и математическият анализ възниква и се развива като средство за неговото разрешаване. Основното средство за постигането на тази цел е концепцията за функциите. Изследването на реалните числа и функциите на реални променливи се нарича реален анализ, а съответната област, занимаваща се с комплексните числа – комплексен анализ. Много природни явления се свеждат до зависимости между величини и степента на тяхната промяна, които се описват с диференциални уравнения. Примери за по-специализирани области на математическия анализ са функционалния анализ, който изучава пространствата, обикновено с безкраен брой измерения, от функции и теорията на хаоса, която изследва сложните динамични системи.


Математически анализ	Векторен анализ	Диференциални уравнения	Теория на хаоса	Комплексен анализ

Основи и философия на математиката [редактиране]

Подобластите на математическата логика и теорията на множествата възникват, за да изяснят основите на математиката. Математическата логика включва математическото изследване на логиката и прилагането на формална логика към останалите области на математиката, а теорията на множествата изучава множествата, които представляват групи от обекти. Теорията на категориите е все още в процес на развитие и разглежда математическите структури и отношенията между тях от абстрактна гледна точка.

Изразът „криза на основите“ описва търсенето на по-строги основи на математиката през периода около 1900-1930 година.^[1] Този процес е стимулиран от няколко принципни спора, като тези за теорията на Георг Кантор и противоречията между Лойцен Егбертус Ян Брауер и Давид Хилберт. Известни разногласия за основите на математиката се запазват и до наши дни.

Основната задача на математическата логика е да постави математиката в твърда аксиоматична рамка и да изследва последствията от това. Едно от тях е теоремата на Гьодел за непълнота, според която всяка формална система, която съдържа базова аритметика и чиито теореми са истинни, по необходимост е непълна (някои от нейните истинни теореми не могат да бъдат доказани в рамките на системата). Гьодел демонстрира как може да бъде конструирано формално твърдение, което е истинен факт от теорията на числата, но не следва от аксиомите, на които се основава тя, независимо по какъв начин са избрани те. Съвременната математическа логика се подразделя на теория на рекурсията, теория на моделите и теория на доказателствата и е тясно свързана с теоретичната информатика.

$p \Rightarrow q \,$
Математическа логика	Теория на множествата	Теория на категориите

Теоретична информатика [редактиране]

^{Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия като го разширите.}

Приложна математика [редактиране]

Основна статия: Приложна математика

^{Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия като го разширите.}


Математическа физика	Числен анализ	Оптимиране	Теория на вероятностите

Статистика	Математически финанси	Теория на игрите	Математическа икономика