Линейна алгебра

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Триизмерното евклидово пространство R3 е линейно пространство, а правите и равнините, преминаващи през координатното начало са линейни подпространства в R3.

Линейна алгебра е дял на математиката, изследващ линейните пространства, обикновено с краен или изброим брой измерения, както и линейните изображения (линейните категории) между такива пространства. Тези изследвания възникват първоначално с цел решаването на системи линейни уравнения с няколко неизвестни, които е лесно да бъдат представени под формата на матрици и вектори.[1]

Линейната алгебра заема централно място както в чистата, така и в приложната математика. Например, абстрактната алгебра възниква чрез отстраняване на някои от аксиомите за линейните пространства, което дава възможност за значителни обобщения на изводите на линейната алгебра. Функционалният анализ изучава теорията на линейните пространства с безкраен брой измерения. В съчетание с математическия анализ линейната алгебра дава възможност за решаване на линейни системи от диференциални уравнения. Методи на линейната алгебра се използват също в аналитичната геометрия, техниката, физиката и останалите природни науки, информатиката и обществените науки, най-вече в икономиката. Тъй като апаратът на линейната алгебра е много добре развит, понякога нелинейни математически модели се апроксимират чрез линейни.

История[редактиране | edit source]

Линейната алгебра възниква в трудовете на Грасман, Хамилтон и Кейли в средата на 19 век, но основен стимул за развитие й дава теорията на относителността и пълния си облик тя получава едва през 20 век.

Области на изследване[редактиране | edit source]

Приложения[редактиране | edit source]

Системи линейни уравнения[редактиране | edit source]

Система линейни уравнения е набор от алгебрични уравнения от първа степен, включващи едни и същи променливи. Теорията на системите линейни уравнения е един от основните дялове на линейната алгебра. Тяхното решаване е често възникваща задача в множество практически области, като инженерството, физиката, химията и икономиката.

Система от m линейни уравнения с n неизвестни се представя във формата:

\left| \begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2 \\
\vdots\;\;\; &&     && \vdots\;\;\; &&                && \vdots\;\;\; &&     &&& \;\vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m \\
\end{alignat}\right.

където x_1,\ x_2,...,x_n са неизвестни, a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn} са коефициенти на системата, а b_1,\ b_2,...,b_m са свободни членове на системата.

Решаването на системата представлява присвояване на числени стойности на променливите, така че всички уравнения да бъдат едновременно изпълнени. Всяка съвкупност от числа (c_{1},\ c_{2},...,\ c_{n}), които удовлетворяват всяко от уравненията се нарича решение на системата. Ако системата има точно едно решение, тя се нарича определена, ако има повече от едно решение — неопределена, а ако няма решение — несъвместима.

Всяка система от линейни уравнения може да се представи матрична форма.

\bold{A}\bold{X}=\bold{B}

където A е матрица с размери m×n представяща коефициентите на системата, X е вектор с неизвестните (с n елемента) и B е вектор със свободните членове (с m елемента).


A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},\quad
\bold{X}=
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix},\quad
\bold{B}=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}

Матрицата A=(a_{ij}) се нарича основна матрица. На всяка линейна система се съпоставят две матрици — основна и разширена матрица. Разширената матрица \bar{A} се състои от основната матрица и стълба със свободни членове.


\bar{A}=\left[\begin{array}{rrrr|r}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m}
\end{array}\right]

Ранг на система линейни уравнения се нарича рангът на основната ѝ матрица, т.е. броят на линейно независимите уравнения в системата. Линейно независими уравнения в една система са такива уравнения, при които едното не може да бъде получено от другото чрез умножение с число различно от нула.

Методите за решаване на линейни системи уравнения биват преки (директни) и итерационни. При преките методи решението се достига чрез определена последователност от краен брой изчислителни операции. Такива са методът на Гаус (метод с елиминиране на променливите), правилото (формулите) на Крамер, разлагане на матрицата по сингулярни стойности, QR разлагане, разлагане на Чолески, симплекс метод и др. За разлика от преките, итерационните методи дават решение след неточно определен брой изчислителни стъпки зависещ от критерия за сходимост и сложността на решаваната система.

Метод на заместването[редактиране | edit source]

Най-простият метод за решавана не система от линейни уравнения е последователното заместване на променливите от едно уравнение в друго. Той обаче изисква голям брой операции и за това се използва най-често при системи с малък брой неизвестни.

При този метод едно неизвестно се представя като функция на останалите и се замества в друго уравнение, като при всяко заместване се елиминира по едно неизвестно, докато накрая не остане само едно. При решаване на система чрез този метод се прилагат следните стъпки:

  1. В система с n неизвестни, в първото уравнение едно от неизвестните се представя като комбинация от останалите.
  2. В останалите уравнения това неизвестно се замества от получената комбинация. По този начин се получава нова система от уравнения с n-1 неизвестни.
  3. Стъпка 1 и 2 се повтарят, докато системата не се сведе до едно линейно уравнение с едно неизвестно
  4. Така полученото уравнение се решава и полученото решение се използва за намиране на другите неизвестни.

Нека разгледаме следната система от линейни уравнения.

\left| \begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2 \\
\vdots\;\;\; &&     && \vdots\;\;\; &&                && \vdots\;\;\; &&     &&& \;\vdots \\
a_{n1} x_1 &&\; + \;&& a_{n2} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{nn} x_n &&\; = \;&&& b_n \\
\end{alignat}\right.

От първото уравнение представяме x1 като

  x_1 = (b_1 - a_{12} x_2  - \cdots - a_{1n} x_n)/a_{11}

Заместваме x1 от второто уравнение с получения израз и получаваме уравнение с n-1 неизвестни:

 a_{21} (b_1 - a_{12} x_2  - \cdots - a_{1n} x_n)/a_{11} + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2

От така полученото уравнение изразяваме x2 чрез x3... xn и заместваме в третото уравнение. Повтаряме операцията за x3, x4 и т.н до последното уравнение, което е линейно уравнение с едно неизвестно (xn). Решаваме това уравнение и последователно намираме останалите неизвестни чрез заместване.

Матричен метод[редактиране | edit source]

Матричният метод за решаване на система от линейни уравнения се извежда от матричната форма на системата и представлява решението:

\bold{X}=\bold{A^{-1}}\bold{B}

където A-1 е обратната матрица на основната матрица А, X е векторът с неизвестните и B е векторът със свободните членове.

Този резултат се получава от матричната форма на системата линейни уравнения при умножаване на двете страни отляво с A-1

A^{-1}\left( AX \right) = A^{-1}B

Тъй като A^{-1}A = E то следва, че X = A^{-1}B

Метод на Гаус[редактиране | edit source]

Методът на Гаус, наречен още метод на последователното изключване на неизвестните, е метод за решаване на система линейни уравнения, при който върху разширената матрица на системата се прилагат елементарни преобразувания по редовете и разместване на стълбовете, така че тя да се приведе в стъпаловиден вид. От така получената матрица се определят последователно неизвестните чрез заместване, като се започне от последния ред.

Върху разширената матрица са позволени следните преобразувания:

  • разместване на местата на два реда
  • умножаване на ред с ненулево число
  • прибавяне на ред, умножен с число, към друг ред
  • разместване местата на два стълба

С тези преобразувания основната матрица на всяка система може да се приведе в следния вид:


\left[\begin{array}{rrrrrrr|r}
c_{11} & c_{12} & c_{13} & \cdots & c_{1r} & \cdots & c_{1n} & d_{1}\\
0 & c_{22} & c_{23} & \cdots & c_{2r} & \cdots & c_{2n} & d_{2} \\
0 & 0 & c_{33} & \cdots & c_{3r} & \cdots & c_{3n} & d_{3} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & c_{rr} & \cdots & c_{rn} & d_{r} \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & d_{r+1} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & d_{m} \\
\end{array}\right]

Системата е съвместима само, когато d_{r+1}=d_{r+2}=...=d_m=0

Така получената матрица може да се разглежда като разширена матрица на нова еквивалентна система от вида:

\left| \begin{align}
c_{11} x_1 + c_{12} x_2 + c_{13} x_2 + \cdots + c_{1r} x_r + \cdots + c_{1n} x_n & = d_1 \\
c_{22} x_2 + c_{23} x_2 + \cdots + c_{2r} x_r + \cdots + c_{2n} x_n & = d_2 \\
\cdots \cdots \cdots & \cdots \\
c_{rr} x_r + \cdots + c_{rn} x_n & = d_r \\
\end{align}\right.

Решенията x_r, ..., x_1 на тази система се определят последователно чрез параметрите x_{r+1}, ..., x_n като се започне от последното уравнение.

Метод на Гаус-Жордан[редактиране | edit source]

Методът на Гаус-Жордан е разновидност на метода на Гаус при който, чрез преобразования на разширената матрица, основната матрица, която я съставя, се свежда до единична матрица. По този начин, стълбът на свободните членове на получената матрица съдържа единственото решение на системата. Този метод е валиден само за Крамерови системи, т.е. системи, при които броят на неизвестните е равен на броя на уравненията.


\bar{A}=\left[\begin{array}{rrrr|r}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & b_{n}
\end{array}\right]\quad\sim\quad
\left[\begin{array}{rrrr|r}
1 & 0 & \cdots & 0 & d_{1}\\
0 & 1 & \cdots & 0 & d_{2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & d_{n}
\end{array}\right]

Решението на системата се намира директно от матрицата, като x_1=d_1, x_2=d_2..., x_n=d_n. Основният недостатък на този метод е, че изисква два пъти повече преобразования на матрицата, отколкото метода на Гаус.

Метод на Крамер[редактиране | edit source]

Системи линейни уравнения, при които броят на неизвестните е равен на броя на уравненията и детерминантата на основната матрица е различна от нула, имат само едно решение, което се намера чрез формулите на Крамер:

 x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}= \frac{1}{\Delta}\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,i-1} & b_{1} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,i-1} & b_{2} & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n,i-1} & b_{n} & a_{n,i+1} & \cdots & a_{nn}\\
\end{vmatrix} \qquad i = 1, \ldots, n \,

където  \Delta е детерминантата на основната матрица, а  \Delta_i е детерминантата на матрица образувана при заместването на i-тия стълб на основната матрица с вектора на свободните коефициенти  B .

Задача за най-малките квадрати[редактиране | edit source]

Редове на Фурие[редактиране | edit source]

В квантовата механика[редактиране | edit source]

Бележки[редактиране | edit source]

  1. Weisstein 2012.
Цитирани източници
  • ((en)) Weisstein, Eric. Linear Algebra. // From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram. Посетен на 2012-04-16.

Литература[редактиране | edit source]

  • Dodgson,Ch.L. (a.k.a. Lewis Carroll) (1867), Elementary Treatise on Determinants with their Application to Simultaneous Linear Equations and Algebraical Geometry, London: Macmillan.
  • Тафтлъ,Ем. (1899), Алгебра, Пловдивъ: Хр. Г. Дановъ.
  • Брадистилов,Г. и Бояджиев,Г (1963), Матрично смятане, София: Техника.
  • Курош,А. (1968), Курс по висша алгебра, София: Наука и изкуство.
  • Дочев,К. и Димитров,Д. (1973), Линейна алгебра, София: Наука и изкуство.
  • Дочев,К., Димитров,Д. и Кирпикова,Т. (1974), Ръководство за упражнения по висша алгебра. Линейна алгебра, София: Наука и изкуство.
  • Тонов,И. (1980), Матрици и детерминанти, София: Народна просвета.
  • Кострикин,А.И. (1981), Въведение в алгебрата, София: Наука и изкуство.
  • Гаврилов,М. и Станилов,Гр. (1998), Линейна алгебра и аналитична геометрия, София: Софтех.
  • Борисов,А. и Гюдженов,И. (1999), Линейна алгебра и аналитична геометрия, Благоевград: Университетско издателство "Неофит Рилски".
  • Хинева,С. (2000), Линейна алгебра и аналитична геометрия, София: Софтех.
  • Иванов,И. и Петков,М. (2000), Приложен матричен анализ, Шумен: Светлина.
  • Сидеров,Пл. (2001), Записки по алгебра: линейна алгебра, София: Веди.
  • Маринов,М. (2004), Линейна алгебра в примери и задачи, София: Деметра.
  • Моллов,Т. и Миховски,С. (2008), Линейна алгебра, Пловдив: Университетско издателство "Паисий Хилендарски".