Рационално число

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката рационално число се нарича отношението между две числа a и b. Рационалните числа най-често се записват като обикновени дроби във вида a/b, където a и b са цели числа и b е различно от нула, или като десетични дроби. Числото а в обикновената дроб се нарича числител, а числото b - знаменател. Когато числителят на дробта е по-малък от знаменателя, тя се нарича правилна дроб. Когато числителят е по-голям от знаменателя, дробта е неправилна. Операциите събиране и умножение се дефинират по следния начин:

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}
\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}

Две рационални числа a/b и c/d са равни точно когато ad = bc.

Множеството на рационалните числа се означава с Q или \mathbb{Q} и формално може да се дефинира като:

\mathbb{Q} = { a/b: a\mathbb{Z}, b\mathbb{Z} ∖ {0} },

т. е. като множество от еквивалентни класове a/b. Тук две дроби p/q и r/s са еквивалентни при ps = qr и всички еквивалентни помежду си дроби образуват един клас на еквивалентност. При това се предполага, че знаменателите q и s са различни от нула. Аритметичните операции събиране, изваждане и умножение се дефинират както при целите числа, а делението - като операция, обратна на умножението, т. е. за всяко рационално число α и за всяко рационално число β ≠ 0 съществува точно едно число γ = α:β, за което α = β.γ.

Множеството Q е изброимо множество - на всеки елемент на Q може да се съпостави естествено число. Равномощността на множеството на рационалните числа Q с множеството на естествените числа N е доказана от Георг Кантор (1845 - 1918) с помощта на неговия диагонален метод.

Диаграма, илюстрираща диагоналния метод на Кантор

Между всеки две произволно избрани рационални числа p и q ( p<q ) винаги има безбройно много други рационални числа - например числата s = p + ( q - p )/n, където n = 2, 3,... Ако рационалните числа се разглеждат като принадлежащи на реалната числова права, те са разположени навсякъде гъсто между реалните числа, тъй като във всяка околност на реално число има рационални числа, и то безбройно много.

Множеството на рационалните числа Q е поле, което се получава като влагане на област на цялост в поле от частни. В конкретния случай областта на цялост е пръстенът на целите числа Z , а операциите в него са събиране и умножение на дроби.

Вижте също[редактиране | edit source]