Алгебра

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на Алгебра.

Алгебрата (от арабски: الجبر, „възстановяване“) е дял на математиката, изучаващ свойствата на операциите и релациите, както и произтичащите от тях структури и концепции, като членове, полиноми, уравнения и алгебрични системи. Наред с геометрията, анализа, топологията, комбинаториката и теорията на числата, алгебрата е един от основните клонове на чистата математика.

Елементарната алгебра е част от програмите в основното образование и разширява обхвата на изучаваната преди това аритметика с използването на буквени означения за числата и с въвеждането на концепцията за променливите. Изрази, използващи променливи, се манипулират с помощта на правилата на операциите, прилагани и върху числата, като с това се постигат различни цели, например решаване на уравнения.

Алгебрата има много по-широк обхват от елементарната алгебра, като изследва и прилаганета на операции с различно поведение или операции, извършвани върху обекти, които не са числа. Събирането и умножението могат да бъдат обобщени, а прецизното им дефиниране е свързано с абстрактни алгебрични системи, като групи, пръстени и полета, които са предмет на изучаване на абстрактната алгебра.

Наред с фундаменталната роля на алгебрата вътре в математиката тя има и голямо приложно значение, например във физиката (представяне на крайните групи в квантовата механика, дискретните групи в кристалографията), в кибернетиката (теорията на автоматите), в икономиката (линейните неравенства).

Направления[редактиране | edit source]

Условно в алгебрата може да бъдат определени следните направления:

История[редактиране | edit source]

Страница от книгата на Ал Хорезми

Корените на алгебрата могат да бъдат проследени до древните вавилонци,[1] които създават напреднала аритметична система, която дава възможност за алгоритмични изчисления. Във Вавилон се използват формули, с които се решават задачи, решавани днес с помощта на линейни и квадратни уравнения. За разлика от вавилонците, египетските, гръцките и китайските математици от 1 хилядолетие пр.н.е. решават такива задачи с геометрични методи.

Геометричната теория на гърците, обобщена в работите на Евклид, стават основа за обобщаването на решенията на конкретни задачи в по-общи системи. Първите форми на алгебрата са от 4 век пр.н.е., когато в Древна Гърция възниква геометричната алгебра. При нея в алгебричните изрази участват страните на геометрични обекти, обикновено отсечки, които са обозначавани с букви.

През Елинистичната епоха александрийските математици Херон и Диофант, наричан понякога „бащата на алгебрата“, продължават и доразвиват тези традиции.[2][3] Диофант пише поредица от книги, озаглавена „Аритметика“, които отделят внимание на решаването на алгебрични уравнения. През 7 век в областта на алгебрата пише и индийският математик Брахмагупта, който дава първото пълно решение на квадратните уравнения.

Самото наименование алгебра идва от арабската дума الجبر (ал-джабр, „възстановяване“) и много от нейните методи са създадени от мюсюлмански математици, като корените им могат да бъдат проследени до по-древни традиции, най-вече индийската. Най-рано терминът „алгебра“ се среща през 825 година у иранския астроном, математик и географ Ал Хорезми, който е запознат с индийската математика и допринася за нейното популяризиране в Ислямския свят.[4][5]

В труд на Ал Хорезми „Сбит трактат за пресмятанията чрез възстановяване и сравняване“ (на арабски: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة, Ал-кутуб ал-мухтасар фии хисааб ал-джабр уа-л-мукаабала) ал-джабр, т.е. „възстановяване“, се нарича действието, при което даден член на уравнението се прехвърля от другата страна на равенството с противоположен знак. Сравняване (ал-мукаабала) Ал Хорезми нарича изваждането на едно и също число от двете страни на уравнението. С тази книга той утвърждава алгебрата като самостоятелен дял на математиката, независим от геометрията и аритметиката.[6]

В края на XV в. в тежките словесни описания на алгебричните действия започват да се появяват знаците " + ", " - ", след това знаци за степени, корени, скоби. Франсоа Виет (в края на XVI в.) първи използва буквени означения както за неизвестните, така и за известните величини. В края на XVII в. в общи линии е изградена съвременната алгебрична символика. През следващите три века сме свидетели на същинското развитие на алгебрата, при което предметът на нейните изследвания се изменя няколко пъти.

През XVII - XVIII в. алгебрата се приема като наука за буквени изчисления за разлика от аритметиката, която се занимава с изчисления с конкретни числа. Под буквени числа се разбирали цели и дробни числа. Според Ойлер това са цели числа, обикновени и десетични дроби, корени, логаритми, алгебрични уравнения от I - IV степен, диофантови уравнения, нютонов бином и др. В началото на XIX в. основната задача на алгебрата е решаването на алгебрични уравнения с едно неизвестно. Има се пред вид решение в радикали. В края на XVIII в. Гаус успява да докаже основната теорема на алгебрата - че всеки многочлен с комплекни коефициенти има корен в полето на комплексните числа. През 1824 г. Н. Х. Абел доказва, уравненията от степен, по-висока от четвърта, в общия случай не са решими в радикали. През 1830 г. Еварист Галоа посочва общ критерий за решимост на агебричните уравнения в радикали. Успоредно с анализа на уравненията математиците работят и върху системи линейни уравнения и тук възникват понятията "матрица" и "детерминанта".

През средата на XIX в. центърът на тежестта се премества върху изследване на алгебричните операции. Предпоставка за това са комплекните числа. Възникват алгебата на логиката на Дж. Бул, външните алгебри на Х. Грасман, кватернионите на Хамилтон, матричното смятане на А. Кейли и т. н. Това са основите на съвременната алгебра като обща теория на алгебричните операции. Тя се оформя в началото на XX в. под влияние на работите на Д. Хилберт, Е. Щейниц, Е. Артин, Е. Ньотер и най-вече на публикуваната през 1930 г. работа на Ван дер Варден "Съвременна алгебра".

Първите работи върху универсални алгебри са от тридесетте години на XX в. и принадлежат на Г. Биркхоф.

Елементарна алгебра[редактиране | edit source]

Елементарната алгебра е най-основната форма на алгебрата. Тя се обикновено се преподава на ученици, които нямат познания по математика извън основните принципи на аритметиката. В аритметиката се използват само числа и аритметичните операции (като +,-,х,÷). В алгебрата числата често са обозначени със символи (като a, x или y). Това е полезно защото:

  • Позволява формулирането на аритметичните закони (като a+b=b+a за всяко a и b) и по този начин е първата стъпка към изследването на свойствата на реалните числа.
  • Позволява използването на неизвестни числа, формулировката на уравнения и изследване на тяхното решение. (Например: „Намери числото x, такова че 3x+1=10“)
  • Позволява формулировката на функционални зависимости. (Например: „Ако продадеш x билета, тогава твоята печалба ще бъде 3x-10 лева, или f(x)=3x-10, където f е функцията, а x е аргументът на функцията.“)

Абстрактна алгебра[редактиране | edit source]

Бележки[редактиране | edit source]

  1. Struik, Dirk J. A Concise History of Mathematics. New York, Dover Publications, 1987.
  2. Diophantus, Father of Algebra. // ThinkQuest. Посетен на 4 август 2010.
  3. History of Algebra. // algebra.com. Посетен на 4 август 2010.
  4. Fjordman. A Brief History of Zero and Indian Numerals. // The Brussels Journal, 2009. Посетен на 4 август 2010.
  5. Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction. Addison Wesley, 1998. ISBN 978-0321016188.
  6. Rashed, Roshdi. Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra. Saqi Books, 2009. ISBN 0863564305.

Вижте също[редактиране | edit source]