Дроб (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на Дроб.

Една четвърта от торта е отстранена. \textstyle{\frac{3}{4}}

Дроби са числа, които представят части от една цяла единица. Всяко рационално число може да се представи във вид на обикновена, на крайна периодична или на безкрайна периодична дроб. Безкрайните непериодични дроби представляват ирационалните числа.

Видове дроби[редактиране | edit source]

Обикновените дроби са числата във вида \textstyle{r = \frac{m}{n}}, където \textstyle{n \ne 0}. При тези означения \textstyle{n} (знаменател) показва на колко части е разделена единицата, а \textstyle{m} (числител) колко от тези части са взети.

Отношението на обикновените дроби се записва, разделено от дробна черта, която типографски може да е разположена както по хоризонтала, така и по диагонал (в англосаксонските страни традиционно се предпочита записът с диагонална дробна черта[1]). Когато дробната черта е хоризонтална, за прегледност и коректност на записа всички аритметични знаци и равенството трябва да се изписват на нивото на дробната черта. Отново за прегледност цифрите в дробите обикновено се изписват с по-малък шрифт, отколкото този на целите числа. Това си личи особено при записа на смесена дроб, например: \textstyle{1 \frac{1}{2}}.

Когато \textstyle{m < n} дробта се нарича правилна, а когато \textstyle{m \ge n}неправилна.

Дробите с числител 1 се наричат аликвотни. За тях важи теоремата, че всяко положително рационално число е представимо като крайна сума на аликвотни дроби с различни знаменатели.[2]

Десетичните дроби са числа, които в десетична бройна система се представят чрез цифри отдясно на десетична запетая. Обърнати в обикновени дроби, десетичните винаги имат за знаменател степен на числото 10.

Всяка обикновена дроб може да се представи като десетична. Например
\textstyle{\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0,35} е пример за крайна, а
\textstyle{\frac{2}{7} = 0,28571428...} — пример за безкрайна дроб.

Във втория пример делението продължава до момента, в който се появи число, което веднъж вече е било остатък, и тогава цифрите в резултата започват да се повтарят. Т.е. дробта \textstyle{\frac{2}{7}} е безкрайна периодична дроб. Записва се още: \textstyle{0,(285714)}.

Аритметика с дроби[редактиране | edit source]

Дробите, както и целите числа се подчиняват на комутативния, асоциативния и дистрибутивния закони на аритметиката, както и на правилото, че не се дели на нула.

Събиране[редактиране | edit source]

Сумата на обикновени дроби с равни знаменатели дава нова обикновена дроб със същия знаменател и числител — сумата на числителите на събираемите. Например: \textstyle{\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}}.

Когато събираемите са с различни знаменатели, първо трябва да се пристъпи към привеждане под общ знаменател. Когато знаменателите са взаимнопрости числа, това ще рече събираемите да се умножат съответно в числител и знаменател, така защото в знаменател да се получи произведението на взаимопростите числа, и чак тогава да се пристъпи към събиране. Например: \textstyle{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}= \frac{20}{60} + \frac{15}{60} + \frac{12}{60} = \frac{47}{60}} . Изказано друго яче: \textstyle{\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{ad + bc}{bd}} .

Процедурата с изваждането е аналогична.

Деление[редактиране | edit source]

Да се дели на обикновена дроб означава да се умножава с реципрочната ѝ, така нареченото „умножаване на кръст“, което най-лесно се илюстрира така \textstyle{\frac{a}{b} \div \frac {c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} }


История на дробите[редактиране | edit source]

Във всички езици понятието за дробно число се обозначава с думи със същия корен като „раздробявам“, „разчупвам“; на латински „дроб“ е „fractura“, което е производно от „frango“(„разбивам“, „начупвам“).

Първи с понятието за дроб са боравили арабите, а в европейската математика е въведено в началото на 13 век от Леонардо Пизански. Названията „числител“ и „знаменател“ се срещат у Максим Планут в края на 13 век. През 1558 г. Траншан въвежда „обикновената“ дроб (fractura vulgaris), унгарецът Зегнер въвежда термините „правилна“ и „неправилна дроб“.

Първото писмено свидетелство за привеждане под общ знаменател е открито у Региомонтан в негова работа от 1464 г., а най-малък общ знаменател започва да се търси едва през втората половина на 16 век, след трудовете на Николо Тарталия (1556) и Христофор Клавий (1538).

Десетичните дроби, от своя страна, получават широко разпространение в края на 16 век след отпечатването на книгата „De Thiende“ („Десетата“) на фламандския инженер Симон Стевин (1585). Превръщането на обикновени дроби в десетични и обратно се разглежда от Кавалиери през 1643 г.

Знае се, че верижните дроби са били известни на индийските математици от 12 век, срещат се у Бомбели в негов труд от 1572 г. Над елементарната теория на верижните дроби работят Ойлер, Хюйгенс и Уолис, който въвежда термина „fractio continua“.

Самите записи на дробите също са се различавали съществено през вековете. Пизански въвежда дробната черта, вероятно заимствайки я от арабите. Въпреки това в средата на 17 век продължават да се срещат математици, които не я ползват (Мерсен, 1644). Десетичната запетая е въведена през 1529 г. от италианския астроном Маджини, а по-късно отново лансирана от Непер. До този момент е била използвана вертикална черта, нула в скобки или различни мастила: черно за цялата част и червено за дробната. Съвременният запис на верижните дроби пък е въведен от Лайбниц през 1696 и Хюйгенс през 1698 г.[3]

Вижте също[редактиране | edit source]

Източници[редактиране | edit source]

  1. "Математически енциклопедичен речник", В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
  2. "Лексикон Математика", Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х
  3. "Математически термини", Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984