Математически анализ

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Математически анализ е клон от математиката, който се занимава с изследване на поведението на математическите функции. Той има две основни подразделения - диференциално смятане и интегрално смятане. Диференциалното смятане изследва скоростта на изменение на функциите, а интегралното смятане се занимава с натрупванията на стойности вследствие от някаква функция. Например, ако познаваме по какъв начин се изменя положението на някакъв обект с течение на времето, то с помощта на диференциалното смятане можем да определим скоростта на този обект във всеки момент от неговото придвижване. И обратното, ако знаем как се е изменяла скоростта му във времето, то с помощта на интегралното смятане можем да определим местоположението му във всеки момент.

Основните понятия, с които работи математическият анализ, са:

Математическият анализ намира приложение в почти всички науки, които използват математически апарат, но най-често се използва във физиката, електрониката, информатиката, икономиката и др.

В ежедневието често математическият анализ се прилага подсъзнателно. Например, ако наблюдаваме движението на един автомобил, ние нямаме представа директно за скоростта му (не виждаме скоростомера му), но когато видим как (колко бързо) се изменя положението му на пътя, успяваме да преценим и скоростта му.

Основни понятия[редактиране | edit source]

Безкрайно малки величини и граници[редактиране | edit source]

В основата на математическия анализ са изчисленията с участие на много малки стойности. Първоначално за тази цел са използвани безкрайно малките величини - математически обекти, които могат да бъдат разглеждани като числа, но в действителност по абсолютна стойност са по-малки от всяко реално число. Така безкрайно малката величина dx може да бъде по-голяма от 0 и по-малка от всяко число от редицата 1, 1/2, 1/3, ... Произведенията на безкрайно малките величини с крайни числа остават безкрайно малки, като по този начин нарушават валидната за същинските числа аксиома на Архимед.

Дефинирането на математическия анализ като сбор от техники за манипулиране на безкрайно малки величини губи популярност през 19 век, поради затрудненията в тяхното строго и прецизно дефиниране. По това време използването им е изместено от новата концепция за граница. Границите изразяват стойността на дадена функция при определена стойност на нейните параметри чрез стойностите на функцията при близки стойности на параметрите. Както и безкрайно малките величини, границите се използват за описване на дребномащабното поведение на функциите, но оставайки в рамките на системата на реалните числа.

От тази гледна точка анализът се превръща в сбор от техники за манипулиране на граници. Границите са най-простият начин за строго дефиниране на анализа и продължават да бъдат най-често използвания подход и в наши дни. В същото време през 20 век се достига до строги дефиниции и с помощта на безкрайно малките величини, като този подход намира приложение в области като нестандартния анализ.

Диференциране[редактиране | edit source]

Производната f′(x) на дадена крива в определена точка е наклонът на допирателната към кривата в тази точка. Наклонът се определя чрез граничната стойност на наклоните на секущите в близост до точката. На графиката в червено е показана функцията f(x) = x3 − x. В зелено е допирателната през точката (−3/2, −15/8), която има наклон 23/4. Вертикалният и хоризонталният мащаб в графиката са различни.

Една от основните подобласти на математическия анализ е диференциалното смятане, което изследва диференцирането, процесът на получаване на производната на дадена функция. Производната на дадена функция в определена точка от нейното дефиниционно множество характеризира дребномащабното поведение на функцията в тази точка, отразявайки промяната в нейната стойност при много малко изменение на нейния аргумент.

Например, ако f е функция, a е число от нейното дефиниционно множество, а h е число близко до 0, тогава a е близко до a + h, а f(a) е близко до f(a + h), а наклонът на графиката на функцията между тези две точки е:

m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Този израз се нарича диференчно частно. Правата, преминаваща през двете точки от графиката на функцията се нарича секуща, така че m е наклонът на секущата между точките (a, f(a)) и (a + h, f(a + h)). Секущата е само приближение на поведението на функцията в точката a, тъй като тя не отчита какво става между a и a + h. Тъй като е невъзможно h де се приеме за 0, защото това би довело до деление на 0, производната се дефинира като границата на израза, когато h клони към 0:

\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}

Например, производната на функцията f(x) = x2 в точката a = 3 се изчислява по следния начин:

\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} = \lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} = \lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6

Чрез определянето на производната на функцията във всяка точка от нейното дефиниционно множество се получава нова функция - за разлика от функциите, при които аргументът и резултатът са числа, диференцирането представлява линеен оператор с аргумент изходната функция и резултат нейната производна функция. Например, ако изходната функция е f(x) = x2, резултатът от диференцирането ще е друга функция: g(x) = 2x.

Съществуват няколко различни конвенции за означаване на производните, като най-често се използват тези на Лайбниц и Лагранж:

Означения на Лайбниц Означения на Лагранж Означения на Нютон Означения на Ойлер
 g(x) = \frac{df}{dx} \!  g(x) = f'(x) \!  g(x) = \dot f(x) \!  g(x) = D_x f(x) \!

Интегриране[редактиране | edit source]

Фундаментална теорема на анализа[редактиране | edit source]

Според фундаменталната теорема на анализа диференцирането и интегрирането са обратни действия. Тя свързва стойностите на антипроизводните и определените интеграли. Тъй като обикновено е по-лесно да се изчисли антипроизводната, отколкото да се приложи определението за определен интеграл, фундаменталната теория на анализа често се използва в практиката за изчисляване на определени интеграли.

Фундаменталната теорема на анализа гласи, че ако дадена функция f е непрекъсната в интервала [a, b] и ако F е функция, чиято производна в интервала (a, b) е f, тогава:

\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Освен това за всяко x в интервала (a, b)

\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x)

Тези зависимости, установени от Исак Нютон и Готфрид Лайбниц въз основа на по-ранната работа на Айзък Бароу, стават изходна точка за мащабното развитие на математическия анализ. Фундаменталната теорема дава възможност за прилагането на алгебрични методи за изчисляване на много определени интеграли без прилагането на граници и става основа за решаването на много диференциални уравнения.

История[редактиране | edit source]

Първите сведения за прилагане на идеите на математическия анализ и по-специално на интегралното смятяне са от Древна Гърция от 200 г.пр.н.е., когато Евдокс предлага метод за изчисляване на площта (лицето) на дадена фигура чрез вписани в нея фигури, чиято площ клони към площта на оригиналната фигура (например лицето на кръг може да се изчисли чрез лицето на вписан в него правилен многоъгълник).

В Индия през 499 г. математикът и астроном Ариабхата използва идеята за безкрайно малки стойности, за да изрази астрономическа задача чрез диференциално уравнение. През XII век - пак в Индия, се появява идеята за производна като граница.

Съвременният вариант на математическия анализ е въведен през XVII в. от Исак Нютон и Готфрид Лайбниц независимо един от друг. На Лайбниц дължим повечето от означенията в този дял на математиката.

Литература[редактиране | edit source]

  • Дойчин Дойчинов, Математически анализ, Университетско изд. "Св. Климент Охридски", С., 2006, ISBN 954-8495-35-X.
  • П.Джаков, Р. Малеев, Р. Леви, С. Троянски, Диференциално и интегрално смятане, Факултет по математика и информатика, СУ „Св. Климент Охридски“, 2007.

Вижте още[редактиране | edit source]

Външни препратки[редактиране | edit source]