Фундаментална теорема на анализа

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Фундаменталната теорема на анализа е това което свързва двете основни операции в математическия анализ - диференцирането и интегрирането, като показва че всяка от тях е обратима и води до другата, а именно, че ако непрекъсната функция е диференцирана и след това интегриранa, резултатът е първоначалната функция. Първото изказване и доказателство на теоремата е дело на шотландския математик Джеймс Грегъри.

Формулировка[редактиране | edit source]

Нека f е функция с реални стойности, дефинирана за интервала [a, b]. Нека F е функция дефинирана за същия интервал така:

 \int_b^af'(x)\,dx = f(a)-f(b)

тогава производната на интеграла в горната му граница x е равна на значението на функцията f в точка t или:

F'(x) = f(x)\,

за всяко x в [a, b].

И обратното: Нека f е функция с реални стойности, дефинирана за интервала [a, b]. Нека F е функция, такава че:

f(x) = F'(x)\, за всяко x в [a, b]

тогава Интегралът на f интервала [a, b] се явява първообраз на функцията F в този интервал или:

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).