Интеграл

Тази статия е за математическия функционал. За космическия апарат вижте ИНТЕГРАЛ.

---

Интегралът е един от основните инструменти в съвременната математика. Интуитивно, под интеграл на реална функция f(x) върху интервала [a, b] разбираме площта на фигурата, заградена между вертикалните линии през a и b, абсцисната ос и графиката на f(x), като площта под абсцисата изваждаме. Нуждата от строга дефиниция на интеграл произлиза от факта, че именно чрез интеграла дефинираме площта под функцията f(x). Съществуват много техники за дефиниране на интеграл, които водят до различни класове от интегруеми функции. Едни от най-разпространените са Римановия и неговото абстрактно обобщение - Лебеговия.

Под интеграл може да разбираме и примитивната на функция. т.е. ако е дадена функция f(x), примитивна ще наричаме функцията F(x), такава че производната F'(x)=f(x) за всяко x в дефиниционния интервал. С помощта на примитивната пресмятането на определения интеграл значително се улеснява.

В исторически аспект опити за интегриране са били правени още в древността, но чак в края на 17 в. Нютон и Лайбниц създават основните правила за интегриране. През 19 в. Коши, Вайерщрас и др. правят опит за изграждането на математическия анализ, част от който е интегрирането, на строга логическа основа.

Неопределен интеграл

---

Нека $J$ е интервал и $f:J \rightarrow \mathbb{R} = \left(-\infty, \infty \right)$ е зададена функция. Диференцируемата функция $F : J \rightarrow \mathbb{R}$ се нарича примитивна на функцията $f$ (в интервала $J$), ако е изпълнено $F' = f$. Примитивната $F$ очевидно е непрекъсната в $J$ (следва от диференцируемостта на $F$ в $J$). Ако функцията $F:J \rightarrow \mathbb{R}$ е непрекъсната в интервала $J$ и равенството $F'\left(x\right)=f\left(x\right)$ е изпълнено навсякъде в $J$ с изключение на краен брой точки x (в които точки $F$ евентуално не е диференцируема), то $F$ се нарича обобщена примитивна на $f$ в $J$. От съображения за пълнота се приема, че ако $f$ има примитивна $F$, то тя има и обобщена примитивна, съвпадаща с $F$. Понякога в определението за обобщена примитивна се допуска условието $F'\left(x\right)=f\left(x\right)$ да бъде нарушено и за безкрайна редица от стойности $x_i$ на аргумента x. Възможно е обобщената примитивна да се дефинира без изискването за непрекъснатост. При това се допуска точките x, за които равенството $F'\left(x\right)=f\left(x\right)$ е нарушено, да са точки на прекъсване на $F$. За приложенията, обаче, са важни само непрекъснатите примитивни.

Ясно е, че не всяка функция $f$ има примитивна, т.е. не всяка функция може да бъде производна на някаква друга функция. Така например, според теоремата на Дарбу (френски математик, 1842-1917), ако функцията $F:\left[a,b\right] \rightarrow \mathbb{R}$ приема всички стойности между числата $f\left(a\right)$ и $f\left(b\right)$. Следователно функцията $f$ няма примитивна, ако тя има точки на прекъсване от 1 род. Функцията $f$ може да няма примитивна и в други случаи, например ако тя има някои прекъсвания от 2 род. Може да се окаже, че функцията $f:J\rightarrow \mathbb{R}$ няма примитивна (съответно обобщена примитивна) поради наличие на точки на прекъсване, но свиването на $f$ в някой подинтервал $K \sub J$, който не съдържа въпросните точки, има примитивна (обобщена примитивна). В този случай за краткост казваме, че самата $f$ има съответна примитивна в $K$. Ако $F$ и $\Phi$ са две примитивни на $f$, то те могат да се различават само с адитивна константа. Така, ако $F$ е примитивна на $f$, всяка друга примитивна $\Phi$ на $f$ се определя от $\Phi \left( x \right) = F \left( x \right) + C$, където C е константа.

Множеството на всички примитивни на дадена функция f се нарича неопределен интеграл на f и се бележи с $Int \left( f \right)$. Според тази дефиниция всяка функция има определен интеграл! Действително, ако f има примитивна F, то $Int \left( f \right)$ се състои от всички функции, които се отличават от F с адитивна константа и следователно множеството $Int \left( f \right)$ има мощността на множеството $\mathbb{R}$ на реалните числа. Ако f няма примитивна, то множеството $Int \left( f \right)$ е празно, т.е. $Int \left( f \right) = \empty$.

За примитивната F на функцията f е прието означението:

$F\left( x \right) = \int f \left( x \right)\, dx$

или съкратено $F = \int f$. Тук f се нарича подинтегрална функция, $f\left( x \right) dx$ се нарича подинтегрален израз, а $\int$ е знакът на интеграла.
Операцията намиране на примитивна на дадена функция се нарича неопределено интегриране, или съкратено интегриране когато това не води до недоразумения (проблемът е, че с термините „интеграл“ и „интегриране“ в математиката се означават и други неща). В този смисъл термините „примитивна“ и „интеграл“ се използват като синоними. Интегрирането и диференцирането са взаимнообратни операции в смисъл, че:

$d \int f \left( x \right)\, dx = f \left( x \right)\, dx$, $\int d F \left( x \right) = F \left( x \right)$.

Непосредствено се проверява, че ако функциите $f, g : J \rightarrow \mathbb{R}$ имат примитивни и $\alpha$, $\beta$ са константи, то:

$\int \left( \alpha f \left(x \right) + \beta g \left( x \right) \right)\, dx = \alpha \int f \left( x \right) \, dx + \beta \int g \left( x \right)\, dx$.

Определен интеграл по Нютон

---

Определен интеграл в интервала [a,b]

Нека F е примитивна на f в J и $x_0 \in J$ е фиксирана точка от интервала J. Тогава функцията $\Phi$ определена от $\Phi \left( x \right) = F \left( x \right) - F \left( x_0 \right)$, е също примитивна на f в J, която удовлетворява условието $\Phi \left( x_0 \right) = 0$. За тази примитивна е запазено специално означение, а именно:

$\int_{x_0}^{x} f \left( t \right)\, dt = F \left( x \right) - F \left( x_0 \right)$.

В подинтегралния израз $f \left( t \right)\, dt$ променливата t я няма, т.е. тя може да се замести с всяка друга променлива, например

$\int_{x_0}^{x} f \left( z \right)\, dz = F \left( x \right) - F \left( x_0 \right)$.

Не е трудно да построим примитивна $\Psi$ на f, удовлетворяваща условието $\Psi \left( x_0 \right) = y_0$, където $y_0 \in \mathbb{R}$ е произволно число. Очевидно това е функцията, определена от

$\Psi \left( x \right) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f \left( t \right)\, dt$.

Ако $a, b \in J \left( a < b \right)$, числото

$I = \int_{a}^{b} f \left( x \right)\, dx = F \left( b \right) - F \left( a \right)$

се нарича определен интеграл по Нютон (Исак Нютон, английски математик и физик, 1643 - 1727) от функцията f в интервала $\left[ a, b \right]$. Когато съществуват които и да са два определени интеграла от една и съща функция в даден интервал, те са равни помежду си. Възможно е обаче някои от определените интеграли да не съществуват. Това именно е довело до въвеждането на различни понятия за определен интеграл. Изобщо, на дадена функция $f : J \rightarrow \mathbb{R}$ и на даден подинтервал $\left[ a, b \right] \sub J$ можем да съпоставим величината

$I = I(f, \left[ a, b \right])$.

Тази величина ще наричаме определен интеграл от функцията f в интервала $\left[ a, b \right]$, ако са изпълнени някои условия, например
1. Линейност: Ако $f, g : J \rightarrow \mathbb{R}$ и $\alpha, \beta$ са числа, то

$I \left( \alpha f + \beta g, \left[ a, b \right] \right) = \alpha I \left( f, \left[ a, b \right] \right) + \beta I\left( g, \left[ a, b \right] \right)$

където функцията $\alpha f + \beta g$ е определена от $x \rightarrow \alpha f(x)+\beta g(x)$.
2. Адитивност: Ако $c \in \left[ a, b \right]$, то

$I(f,\left[a,c\right])+I(f,\left[c,b\right])=I(f,\left[a,b\right])$.

В частност, ако $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ е разбивка на интервала $\left[a, b\right]$, то

$I(f,\left[a,b\right])=\sum_{k=0}^{n-1}I(f,\left[x_k, x_{k+1}\right])$.

Условията 1) и 2) не са достатъчни за съдържателното дефиниране на понятието интеграл, тъй като те са в сила например в тривиалния случай, когато сме положили $I(f,\left[a,b\right])=0$. Поради това се въвежда и следното условие.
3. Нетривиалност: Ако означим с 1 постоянната функция $x \rightarrow 1$, то

$I(1,\left[a,b\right])=b-a$.

Лесно се проверява, че определеният интеграл по Нютон удовлетворява горните три условия.
Самото понятие определен интеграл по Нютон може да се обобщи така, че да обхване практически всички важни случаи както в инженерната практика, така и в останалите приложни науки. Действително, определеният интеграл по Нютън в изложената по-горе форма не съществува, ако функцията $\int$ няма примитивна в интервала $\left[a,b\right]$ и в частност, ако $\int$ има прекъсване от първи род. Обаче такива функции се използват понякога в математическото моделиране. Поради това е въведено и следното обобщение на понятието определен интеграл по Нютън.
Нека функцията $\int$ има обобщена примитивна $\textstyle{F}$ в интервала $\left[a,b\right]$, като равенството $\textstyle{F'(x) = f(x)}$ e нарушено само в точките $\textstyle{x_0,x_1,...x_n \in \left[a, b\right]}$, $\textstyle{\left( {x_k < x_k + i} \right)}$ на прекъсване на $\textstyle{f}$, в които $\textstyle{F'\left( {x_k } \right)}$ не съществува. Напомняме, че в същото време $\int$ може да има точки на прекъсване от втори род, в които обаче $F'\left( x \right)$ съществува и е равно на $j\left( x \right)$ (вж. пример 2).
В този случай числото:

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = F\left( b \right) - F\left( a \right)}$

се нарича обобщен интеграл no Нютон от функцията $\textstyle{f}$ в интервала $\left[a,b\right]$.

Горното определение се оправдава от следната конструкция, която „отстранява" прекъсванията, пречещи на обикновения (необобщен) определен интеграл по Нютон да съществува.

Винаги можем да смятаме, че $\textstyle a = x_{0}$ и $\textstyle x_{n} = b$, тъй като в противен случай просто ще прибавим една или две точки към съвкупността $\textstyle \{ x_k \}$.

Да разгледаме функциите $\textstyle f_k :\left( {x_k ,x_{k + 1} } \right) \to R\left( {k = 0,1,...,n - 1} \right)$, определени от $\textstyle f_k \left( x \right) = f\left( x \right)$, $\textstyle x \subset \left( {x_k ,x_{k + 1} } \right)$. Тези функции са непрекъснати и следователно съществуват примитивните $F_k :\left( {x_0 + 0} \right) = A_k$, такива че $F^\prime_{k} = f_{k}$. Да предположим, че съществуват границите

$F_k\left( {x_0 + 0} \right) = A_k$, $F_k \left( {x_{k + 1} - 0} \right) = B_k$. Тогава числото:

$I_k = \int\limits_{x_k }^{x_{k+1} } {f\left( x \right)dx = B_k - A_k }$

ще наричаме обобщен интеграл no Нютон от функцията $\textstyle{f}$ в интервала $\left[x_k,x_{k+1}\right]$.
Съгласно свойствата 1)-3) можем да определим обобщения интеграл по Нютън от $\textstyle{f}$ в интервала $\textstyle{[a,b]}$ като

$I = \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \sum_{k=0}^{n-1}I_k$

Остава да покажем, че съществува обобщена примитивна $\textstyle{F}$ на $\textstyle{f}$ в интервала $\textstyle{[a,b]}$, такава че $\textstyle{I = F(b)-F(a)}$.
За да построим обобщената примитивна като непрекъсната функция ще „слепим" графиките на функциите $\textstyle{\Phi_k = F_k + C_k}$ чрез подходящ избор на адитивните константи $\textstyle{C_k}$. Преди всичко нека да определим функциите $\textstyle{F_k}$ в затворените интервали $\textstyle{J_k=[x_k,x_{k+1}]}$ като положим $\textstyle{F_k(x_k)=A_k,F_k(x_{k+1})=B_k}$. Така функциите $\textstyle{F_k}$ и $\textstyle{\Phi_k}$ са непрекъснати в $\textstyle{J_k}$ и $\textstyle{\Phi'(x)=f(x)}$ при $\textstyle{x \sub (x_k,x_{k+1})}$.

Условията за слепване на графиките на функциите $\textstyle{\Phi_0, \Phi_1,...,\Phi_{n-1}}$ в точките $\textstyle{x_1, x_2,..., x_{n-1}}$ са

Вижте също

• Online инструмент за изчисляване на интеграли