Интеграл

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Емблема за пояснителна страница Тази статия е за математическия функционал. За космическия апарат вижте ИНТЕГРАЛ.

Графика на реална функция f(x) - площта от a до b под графиката и над абсцисната ос е определеният интеграл (в синьо).

Интегралът е един от основните инструменти в съвременната математика. Понятието интеграл може да се разглежда по следните начини:

  1. Интеграл на функция f(x) с дефиниционна област интервала [a,b] и множество от стойности \mathbb{R} (\mathbb{R} е множеството на реалните числа) се разбира площта на фигурата, заградена между вертикалните линии през a и b, абсцисната ос и графиката на f(x), като площта под абсцисата изваждаме. Нуждата от строга дефиниция на интеграл произлиза от факта, че именно чрез интеграла дефинираме площта под функцията f(x).
  2. Под интеграл може да разбираме и примитивната на функция, т.е. ако е дадена функция f(x), примитивна се нар. функцията F(x), такава че производната F'(x) = f(x) за всяко x в дефиниционния интервал.

Съществуват много техники за дефиниране на интеграл, които водят до различни класове от интегруеми функции. Едни от най-разпространените интеграли са т.нар. Риманов интеграл и неговото абстрактно обобщение - Лебегов интеграл.

История[редактиране | edit source]

В исторически аспект опити за интегриране са били правени още в древността, но чак в края на XVII в. Нютон и Лайбниц създават основните правила за интегриране. През XIX в. Коши, Вайерщрас и др. допринасят за изграждането на математическия анализ, част от който е интегрирането, на строга логическа основа.

Същност[редактиране | edit source]

Нека J е произволен интервал и f:J \rightarrow \mathbb{R} = \left(-\infty, \infty \right) е зададена функция. Примитивната F очевидно е непрекъсната в J (следва от диференцируемостта на F в J). Ако функцията F:J \rightarrow \mathbb{R} е непрекъсната в интервала J и равенството F'\left(x\right)=f\left(x\right) е изпълнено навсякъде в J с изключение на краен брой точки x (в които точки F евентуално не е диференцируема), то F се нарича обобщена примитивна на f в J. От съображения за пълнота се приема, че ако f има примитивна F, то тя има и обобщена примитивна, съвпадаща с F. Понякога в определението за обобщена примитивна се допуска условието F'\left(x\right)=f\left(x\right) да бъде нарушено и за безкрайна редица от стойности x_i на аргумента (за аргумент виж статия функция) x. Възможно е обобщената примитивна да се дефинира без изискването за непрекъснатост. При това се допуска точките x, за които равенството F'\left(x\right)=f\left(x\right) е нарушено, да са точки на прекъсване на F. За приложенията, обаче, са важни само непрекъснатите примитивни.

Ясно е, че не всяка функция f има примитивна, т.е. не всяка функция може да бъде производна на някаква друга функция. Така например, според теоремата на Дарбу (френски математик, 1842-1917), ако функцията  F:\left[a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} приема всички стойности между числата f\left(a\right) и f\left(b\right). Следователно функцията f няма примитивна, ако тя има точки на прекъсване от 1 род. Функцията f може да няма примитивна и в други случаи, например ако тя има някои прекъсвания от 2 род. Може да се окаже, че функцията f:J\rightarrow \mathbb{R} няма примитивна (съответно обобщена примитивна) поради наличие на точки на прекъсване, но свиването на f в някой подинтервал K \sub J, който не съдържа въпросните точки, има примитивна (обобщена примитивна). В този случай за краткост казваме, че самата f има съответна примитивна в K. Ако F и \Phi са две примитивни на f, то те могат да се различават само с адитивна константа. Така, ако F е примитивна на f, всяка друга примитивна \Phi на f се определя от \Phi \left( x \right) = F \left( x \right) + C, където C е константа.

Неопределен интеграл[редактиране | edit source]

Множеството на всички примитивни на дадена функция f се нарича неопределен интеграл на f и се бележи с Int \left( f \right). Според тази дефиниция всяка функция има определен интеграл. Действително, ако f има примитивна F, то Int \left( f \right) се състои от всички функции, които се отличават от F с адитивна константа и следователно множеството Int \left( f \right) има мощността на множеството (мощност на множество е броят на неговите елементи) \mathbb{R} на реалните числа. Ако f няма примитивна, то множеството Int \left( f \right) е празно, т.е. Int \left( f \right) = \empty.

За примитивната F на функцията f е прието означението:

F\left( x \right) = \int f \left( x \right)\, dx.

Тук f се нарича подинтегрална функция, f\left( x \right) dx се нарича подинтегрален израз, а \int е знакът на интеграла.
Операцията намиране на примитивна на дадена функция се нарича неопределено интегриране и се извършва чрез т. нар. таблични интеграли. Интегрирането и диференцирането са взаимнообратни операции, т.е.:

d \int f \left( x \right)\, dx = f \left( x \right)\, dx, \int d F \left( x \right) = F \left( x \right).


Непосредствено се проверява, че ако функциите f, g : J \rightarrow \mathbb{R} имат примитивни и \alpha, \beta са константи, то:

\int \left( \alpha f \left(x \right) + \beta g \left( x \right) \right)\, dx = \alpha \int f \left( x \right) \, dx + \beta \int g \left( x \right)\, dx .

Определен интеграл по Нютон[редактиране | edit source]

Определен интеграл в интервала [a,b]

Нека F е примитивна на f в J и x_0 \in J е фиксирана точка от интервала J. Тогава функцията \Phi определена от \Phi \left( x \right) = F \left( x \right) - F \left( x_0 \right), е също примитивна на f в J, която удовлетворява условието \Phi \left( x_0 \right) = 0. За тази примитивна е запазено специално означение, а именно:

\int_{x_0}^{x} f \left( t \right)\, dt = F \left( x \right) - F \left( x_0 \right).


В подинтегралния израз f \left( t \right)\, dt променливата t я няма, т.е. тя може да се замести с всяка друга променлива, например

\int_{x_0}^{x} f \left( z \right)\, dz = F \left( x \right) - F \left( x_0 \right).


Не е трудно да построим примитивна \Psi на f, удовлетворяваща условието \Psi \left( x_0 \right) = y_0, където y_0 \in \mathbb{R} е произволно число. Очевидно това е функцията, определена от

\Psi \left( x \right) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f \left( t \right)\, dt.


Ако a, b \in J \left( a < b \right), числото

I = \int_{a}^{b} f \left( x \right)\, dx = F \left( b \right) - F \left( a \right)


се нарича определен интеграл по Нютон (Исак Нютон, английски математик и физик, 1643 - 1727) от функцията f в интервала \left[ a, b \right]. Когато съществуват които и да са два определени интеграла от една и съща функция в даден интервал, те са равни помежду си. Възможно е обаче някои от определените интеграли да не съществуват. Това именно е довело до въвеждането на различни понятия за определен интеграл. Изобщо, на дадена функция f : J \rightarrow \mathbb{R} и на даден подинтервал  \left[ a, b \right] \sub J можем да съпоставим величината

I = I(f, \left[ a, b \right]).


Тази величина ще наричаме определен интеграл от функцията f в интервала \left[ a, b \right], ако са изпълнени някои условия, например

  1. Линейност: Ако f, g : J \rightarrow \mathbb{R} и \alpha, \beta са числа, то
I \left( \alpha f + \beta g, \left[ a, b \right] \right) = \alpha I \left( f, \left[ a, b \right] \right) + \beta I\left( g, \left[ a, b \right] \right)


където функцията  \alpha f + \beta g е определена от x \rightarrow \alpha f(x)+\beta g(x).

  1. Адитивност: Ако c \in \left[ a, b \right], то
I(f,\left[a,c\right])+I(f,\left[c,b\right])=I(f,\left[a,b\right]).


В частност, ако a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b е разбивка на интервала \left[a, b\right], то

I(f,\left[a,b\right])=\sum_{k=0}^{n-1}I(f,\left[x_k, x_{k+1}\right]).


Условията 1) и 2) не са достатъчни за съдържателното дефиниране на понятието интеграл, тъй като те са в сила например в тривиалния случай, когато сме положили I(f,\left[a,b\right])=0. Поради това се въвежда и следното условие.

  1. Нетривиалност: Ако означим с 1 постоянната функция x \rightarrow 1, то
I(1,\left[a,b\right])=b-a.


Лесно се проверява, че определеният интеграл по Нютон удовлетворява горните три условия.
Самото понятие определен интеграл по Нютон може да се обобщи така, че да обхване практически всички важни случаи както в инженерната практика, така и в останалите приложни науки. Действително, определеният интеграл по Нютон в изложената по-горе форма не съществува, ако функцията \int няма примитивна в интервала \left[a,b\right] и в частност, ако \int има прекъсване от първи род. Обаче такива функции се използват понякога в математическото моделиране. Поради това е въведено и следното обобщение на понятието определен интеграл по Нютон.
Нека функцията \int има обобщена примитивна \textstyle{F} в интервала \left[a,b\right], като равенството \textstyle{F'(x) = f(x)} e нарушено само в точките \textstyle{x_0,x_1,...x_n \in \left[a, b\right]}, \textstyle{\left( {x_k  < x_k  + i} \right)} на прекъсване на \textstyle{f}, в които \textstyle{F'\left( {x_k } \right)} не съществува. Напомняме, че в същото време \int може да има точки на прекъсване от втори род, в които обаче F'\left( x \right) съществува и е равно на j\left( x \right) (вж. пример 2).
В този случай числото:

\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = F\left( b \right) - F\left( a \right)}

се нарича обобщен интеграл no Нютон от функцията \textstyle{f} в интервала \left[a,b\right].

Горното определение се оправдава от следната конструкция, която „отстранява" прекъсванията, пречещи на обикновения (необобщен) определен интеграл по Нютон да съществува.

Винаги можем да смятаме, че \textstyle a = x_{0} и \textstyle x_{n} = b , тъй като в противен случай просто ще прибавим една или две точки към съвкупността \textstyle \{ x_k \}.

Да разгледаме функциите \textstyle f_k :\left( {x_k ,x_{k + 1} } \right) \to R\left( {k = 0,1,...,n - 1} \right), определени от \textstyle f_k \left( x \right) = f\left( x \right) , \textstyle x \subset \left( {x_k ,x_{k + 1} } \right) . Тези функции са непрекъснати и следователно съществуват примитивните  F_k :\left( {x_0  + 0} \right) = A_k , такива че  F^\prime_{k}  = f_{k} . Да предположим, че съществуват границите

 F_k\left( {x_0  + 0} \right) = A_k ,  F_k \left( {x_{k + 1}  - 0} \right) = B_k . Тогава числото:

Неуспех при разбора (лексикална грешка): I_k = \int\limits_{x_k }^{x_{k+1} } {f\left( x \right)dx = B_k — A_k }

ще наричаме обобщен интеграл no Нютон от функцията \textstyle{f} в интервала \left[x_k,x_{k+1}\right].
Съгласно свойствата 1)-3) можем да определим обобщения интеграл по Нютон от \textstyle{f} в интервала \textstyle{[a,b]} като

I = \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \sum_{k=0}^{n-1}I_k

Остава да покажем, че съществува обобщена примитивна \textstyle{F} на \textstyle{f} в интервала \textstyle{[a,b]}, такава че \textstyle{I = F(b)-F(a)}.
За да построим обобщената примитивна като непрекъсната функция ще „слепим" графиките на функциите \textstyle{\Phi_k = F_k + C_k} чрез подходящ избор на адитивните константи \textstyle{C_k}. Преди всичко нека да определим функциите \textstyle{F_k} в затворените интервали \textstyle{J_k=[x_k,x_{k+1}]} като положим \textstyle{F_k(x_k)=A_k,F_k(x_{k+1})=B_k}. Така функциите \textstyle{F_k} и \textstyle{\Phi_k} са непрекъснати в \textstyle{J_k} и \textstyle{\Phi'(x)=f(x)} при \textstyle{x \sub (x_k,x_{k+1})}.

Условията за слепване на графиките на функциите \textstyle{\Phi_0, \Phi_1,...,\Phi_{n-1}} в точките \textstyle{x_1, x_2,..., x_{n-1}} са


Вижте също[редактиране | edit source]

Външни препратки[редактиране | edit source]