Функция на Вайерщрас

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Графика на функцията в интервала [−2, 2]. Наблюдава се фрактално поведение: в големия червен кръг е показана графиката на функцията в малкия в червен кръг. Увеличената графика в малкия интервал прилича много на графиката на функцията в по-големия интервал.

Функцията на Вайерщрас е особен пример за реална функция, която е навсякъде непрекъсната и никъде диференцируема (т.е. функцията е непрекъсната за всяко x, но в нито една точка не може да бъде построена допирателната към нея)[1]. Открита е от немския математик Карл Вайерщрас. Исторически, откриването на тази функция е важно, понеже е контрапример на твърдението, че всяка непрекъсната функция е диференцируема, освен в краен брой точки.

Вид на функцията[редактиране | edit source]

В статията на Вайерщрас[2], функцията е дефинирана по следния начин:

f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x),

където 0<a<1, освен това b е положително нечетно число, а

 ab > 1+\frac{3}{2} \pi.

Този запис, заедно с доказателството, че функцията не е диференцируема (т.е. че в нито една точка не може да се построи допирателна) e представено от Вайерщрас в статия, представена пред Гьотингенската академия на науките (на немски: 'Königliche Akademie der Wissenschaften') на 12 юли 1872.

Доказателството, че функцията (f(x)) е непрекъсната, е елементарно. След като членовете на безкрайния ред, който дефинира функцията на Вайерщрас, са ограничени в интервала \pm a^n и този ред има крайна стойност за 0 < a < 1, редът е равномерно сходящ според критерия на Вайерщрас (където M_n=a^n). След като всяка частична сума е непрекъсната, и равномерната граница е на непрекъснати функции е непрекъсната, f(x) е непрекъсната.

За да докажем, че функцията не е диференцируема в нито една точка, трябва да разгледаме произволна точка x \in {\mathbb R} и да докажем, че функцията не е диференцируема в тази точка. За да направим това, разглеждаме две числови редици x_n и x'_n, чиято граница е x, и притежаващи свойството:

\lim \inf \frac{f(x_n) - f(x)}{x_n - x} > \lim \sup \frac{f(x'_n) - f(x)}{x'_n - x}.

Продължението на доказателството е значително по-сложно.

Априорно, очакваме че непрекъсната функция трябва е и диференцируема, освен в краен брой точки. В статията си, Вайерщрас отбелязва, че по-ранни математици, например Гаус, са приемали това за вярно. Това е понеже е трудно да се нарисува или представи функция, за която множеството на точките, в които тя не е диференцируема, е безкрайно, подобно на Липшицовите функции, за които това множество е пренебрежимо по Лебег. Обикновено, когато даваме пример за непрекъсната функция, чертаем графика на Липшицова функция, която притежава ред други свойства, освен непрекъснатост.

Вайерщрасовата функция може да бъде разглеждана като един от първите „фрактали“, въпреки че терминът е въведен много по-късно. Когато разглеждаме отблизо част от графиката на функцията, тя не се приближава до права линия, като диференцируемите функции, а показва сткруктури, които приличат на графиката на същата функция, но в по-голям мащаб. Това може и да се изрази по следния начин: за всеки две точки, независимо колко близо са една до друга, функцията никога не е монотонна. В своята книга „The Geometry of Fractal Sets“, Кенет Фалконер отбелязва, че Хаусдорфовата размерност на Вайерщрасовата функция е ограничена отгоре с \frac{\log a}{\log b + 2}, (където a и b са константите от определението на функцията на Вайерщрас, виж по-горе). Обикновено се приема, че Хаусдорфовата размерност е равна на тази горна граница, но това не е строго доказано.

В анализа, понякога понятието Вайерщрасова функция се използва за други функции, които притежават свойства, подобни на Функцията на Вайерщрас.

Плътност в множеството на реалните числа[редактиране | edit source]

В топологичен контекст, може да се докаже, че множеството на функциите, непрекъснати в интервала [0,1], недиференцируеми в нито една точка на интервала [0,1] е плътно във векторното пространство C([0, 1]; R) на непрекъснатите реални функции.

Източници[редактиране | edit source]

  1. Weisstein, Eric W.. Weierstrass Function. // MathWorld--A Wolfram Web Resource. Посетен на 17.01.2007.
  2. Karl Weierstrass, Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen

Вижте също[редактиране | edit source]

Външни препратки[редактиране | edit source]

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Weierstrass function“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.