Диференциал (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на диференциал.

Диференциал е понятие в математическия анализ, въведено от Лайбниц и Бернули като описание на така наречените "безкрайно малки величини" и "безкрайно малки промени". Лайбниц и Бернули въвеждат означението \mathrm{d}x\, за диференциал на променливата x\,. Понятието диференциал, което на времето се е считало за едно от основните понятия на диференциалното и интегралното смятане, днес играе второстепенна роля в анализа. В известен смисъл, особено що се отнася до диференциалното смятане на функциите на една променлива, може да се каже, че неговото въвеждане изобщо не е необходимо. Понятието производна се оказва напълно достатъчно, за да бъдат формулирани всички по-съществени резултати от тази част на анализа.

Нека f(x)\, е функция , дефинирана в някоя околност на дадена точка x\,. Изменението на стойността на дадена величина може да се означи с \Delta x. Когато обаче промяната е много малка, тя се обозначава с \mathrm{d}x, което представлява удобство от практическа гледна точка, понеже:

  • Производната по дефиниция е границата на диференчното частно, когато \Delta x \rightarrow 0. Това позволява производната, която е равна по дефиниция на:

f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}, да се запише по значително по-простия начин:

f'(x) = \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x},

откъдето получаваме за диференциала на функцията f(x):

\mathrm{d}f(x) = f'(x)\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x.

Това понятие се обобщава за функции с n реални променливи по следния начин:

\mathrm{d}f(x) = \sum_{i}^n \frac{\part f(x)}{\part x_i}\mathrm{d}x_i .

  • Това обозначение е удобно и при интегралното смятане. С израза:
\int f(x) \, {\mathrm d}x

се дава вярна представа за интеграла като сума от безкрайно малки изменения на функцията.


Интерпретация[редактиране | edit source]

Ако гледаме на диференциала като на функция на променливата h\,, то той може да се интерпретира като приближение на нарастването на f\, около точката x\, със свойството:

\mathrm{d}f(x)=f'(x)\cdot h=(f(x+h)-f(x))+\hbox{o}(h).

Литература[редактиране | edit source]

  • Математический анализ: Введение в анализ, производная, интеграл. Справочное пособие по высшей математике. Т.1, И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач, Едиториал УРСС, 2001