Диференциал (математика)

Вижте пояснителната страница за други значения на диференциал.

---

Диференциал е понятие в математическия анализ, въведено от Лайбниц и Бернули като описание на така наречените "безкрайно малки величини" и "безкрайно малки промени". Лайбниц и Бернули въвеждат означението $\mathrm{d}x\,$ за диференциал на променливата $x\,$. Понятието диференциал, което на времето се е считало за едно от основните понятия на диференциалното и интегралното смятане, днес играе второстепенна роля в анализа. В известен смисъл, особено що се отнася до диференциалното смятане на функциите на една променлива, може да се каже, че неговото въвеждане изобщо не е необходимо. Понятието производна се оказва напълно достатъчно, за да бъдат формулирани всички по-съществени резултати от тази част на анализа.

Нека $f(x)\,$ е функция , дефинирана в някоя околност на дадена точка $x\,$. Изменението на стойността на дадена величина може да се означи с $\Delta x$. Когато обаче промяната е много малка, тя се обозначава с $\mathrm{d}x$, което представлява удобство от практическа гледна точка, понеже:

• Производната по дефиниция е границата на диференчното частно, когато $\Delta x \rightarrow 0$. Това позволява производната, която е равна по дефиниция на:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$, да се запише по значително по-простия начин:

$f'(x) = \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$,

откъдето получаваме за диференциала на функцията f(x):

$\mathrm{d}f(x) = f'(x)\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x$.

Това понятие се обобщава за функции с n реални променливи по следния начин:

$\mathrm{d}f(x) = \sum_{i}^n \frac{\part f(x)}{\part x_i}\mathrm{d}x_i$.

• Това обозначение е удобно и при интегралното смятане. С израза:

$\int f(x) \, {\mathrm d}x$

се дава вярна представа за интеграла като сума от безкрайно малки изменения на функцията.

Интерпретация

Ако гледаме на диференциала като на функция на променливата $h\,$, то той може да се интерпретира като приближение на нарастването на $f\,$ около точката $x\,$ със свойството:

$\mathrm{d}f(x)=f'(x)\cdot h=(f(x+h)-f(x))+\hbox{o}(h).$

Литература

• Математический анализ: Введение в анализ, производная, интеграл. Справочное пособие по высшей математике. Т.1, И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач, Едиториал УРСС, 2001