Граница (математика)

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други значения на Граница.

Граница в математиката може да бъде граница на числова редица или граница на функция.

Граница на числова редица[редактиране | edit source]

Граница на дадена числова редица (a_n) е число l точно тогава, когато за всяко произволно малко положително число \epsilon > 0 може да се намери такова число N(ε), че всички членове аn на редицата с номера n > N(ε) да попадат в интервала (l - ε, l + ε), т. е. да е изпълнено |an - l| < ε за всички n > N(ε).

 \lim_{n \to \infty} a_n = l.

С формализма на математическата логика това се записва по следния начин:

\forall \epsilon > 0, \exists N (\epsilon) \in \mathbb{N}\, : \, \forall n > N (\epsilon), \|a_n -l\| < \epsilon.

Еквивалентно, но по-интуитивно определение е следното: Дадено число l е граница на числовата редица (a_n), ако всяка околност ( "всяка околност" е интервалът (l-\epsilon, l+\epsilon) за произволно \epsilon > 0) съдържа всички членове на редицата с изключение на краен брой.

Ако дадена числова редица притежава граница, тогава редицата се нарича сходяща. В противен случай тя е разходяща. Понякога сходяща числова редица с граница нула се нарича нулева или безкрайно малка редица.

Например границата на редицата

1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},...

при n, клонящо към безкрайност (бележи се n → ∞), е 0, тъй като колкото повече n расте, толкова повече  \frac{1}{n} намалява (и все повече се доближава до 0).

Редицата 1,-1,1,...,(-1)^{n-1},... няма граница, понеже има две точки на сгъстяване: -1 и +1. За нито една от тези точки не е изпълнено условието "Всяка околност съдържа всички членове на редицата освен някакъв краен брой", понеже съществуват две точки, всяка околност на които съдържа безкраен брой членове на редицата: -1 и 1. Редицата е ограничена и отгоре, и отдолу, т.е. съгласно теоремата на Болцано - Вайерщрас съществуват две числови редици: а_{2n} (всички четни членове на редицата) и а_{2n+1} (всички нечетни членове на редицата), които са сходящи: границите им са съответно +1 и -1.

Свойства на границите на редици[редактиране | edit source]

  • Ако редиците (an), (bn) и (cn) са сходящи и клонят съответно към a, b, c, то
\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n.
\lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n - \lim_{n \to \infty} b_n.
\lim_{n \to \infty} (a_n . b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n . \lim_{n \to \infty} b_n.
\lim_{n \to \infty} \frac {a_n} {b_n} = \frac {\lim_{n \to \infty} a_n } { \lim_{n \to \infty} b_n}.

за bn ≠ 0 и \lim_{n \to \infty} b_n ≠ 0.

\lim_{n \to \infty} c a_n = c \lim_{n \to \infty} a_n за c = const.
\lim_{n \to \infty} (c_1a_n + c_2b_n) = c_1 \lim_{n \to \infty} a_n + c_2 \lim_{n \to \infty} b_n

при с1 = const, c2 = const.

\lim_{n \to \infty} \log_b a_n = log_b a при b > 0, a > 0, b ≠ 1.
\lim_{n \to \infty} {a_n}^p = a^p при а > 0 и произволно р.

Основни теореми за граници на редици[редактиране | edit source]

  • Всяка сходяща числова редица е ограничена, но не всяка ограничена числова редица е сходяща.
  • Границата на всяка сходяща числова редица е еднозначно определена. Тя не може да има две различни граници.
  • Ако за всички членове на сходящата редица (аn) при n \ge n_0 са изпълнени неравенствата A \le a_n \le B, то тези неравенства са изпълнени и за границата а на редицата: A \le a \le B.
  • Ако  a_n, b_n, c_n са три сходящи редици, такива че  \lim_{n\to \infty} a_n= \lim_{n\to \infty} c_n=d и a_h\le b_h\le c_h \forall h, то \lim_{n\to \infty} b_n=d.

Граница на функция[редактиране | edit source]

Границата на функция характеризира определено поведение на функционалните стойности на функцията f(x), когато независимата променлива х клони към определена стойност х0 или съответно към +∞ или -∞.

Дефиниция 1. Казваме, че функцията f(x) клони към границата l при х, клонящо към х0, ако когато аргументът х клони към х0, функционните стойности f(x) се приближават все повече до дадено число l, т. е. когато разликата |f(x) - l| става произволно малка за всички х, лежащи в достатъчно малка околност на х0. Означаваме

\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = l.

Дефиниция 2. Функцията f(x) има граница в дадена точка x0, ако за произволно малко число \epsilon > 0 съществува друго произволно малко число \delta (\epsilon) > 0, такова че от  0 < | x - x_0 | < \delta (\epsilon) следва | f(x) - l | < \epsilon.. Това се записва още така:

\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0\,:\,0 < | x - x_0 | < \delta \Rightarrow | f(x) - l | < \epsilon
Функцията sinx/x

Граница се въвежда и ако директното пресмятяне на стойността на функция в разглеждана точка води до неопределеност от типа 0/0. Например директното пресмятяне на стойността на функцията

\frac{\sin x}{x}

за x = 0 води до резултат 0/0, който не е еднозначно дефиниран. Но ако изчислим стойността на същата функция за стойности на х, близки до 0, например 0,0001, ще получим 1, т.е.

\lim_{\Delta x \rightarrow 0}f(x) = 1.

Функцията tg x

Лява и дясна граница на функция[редактиране | edit source]

В много случаи независимата променлива х клони към х0 чрез растящи редици от стойности, т.е. отляво, или чрез намаляващи редици от стойности, т. е. отдясно. Получените граници в тези случаи се наричат лява и дясна граница на функцията в зависимост от това, дали аргументът остава съответно по-малък или по-голям от стойността, към която клони. Бележат се със:

\lim_{ x \rightarrow x_0-}f(x) за лява граница и

\lim_{ x \rightarrow x_0+}f(x) за дясна граница.

Лява и дясна граница се определят в случаите, когато тези две стойности са различни - тогава функцията е прекъсната в дадената точка. Например лявата и дясната граница на функцията tg x при х, клонящо към 90°, са съответно +∞ и -∞.

Неистинска граница на функция[редактиране | edit source]

Казва се, че функцията f(x) има неистинска граница +∞ или -∞, ако за всяко произволно голямо число С > 0 съществува такова число \delta (''C'') > 0, че за всички х, за които 0 < |x - a| < \delta, е изпълнено неравенството f(x) > C, съответно f(x) < -C. Означава се:

\lim_{ x \rightarrow a} f(x) = +∞, \lim_{ x \rightarrow a} f(x) = -∞.

Поведение на функциите в безкрайността[редактиране | edit source]

Поведението на дадена функция f(x) за много големи положителни и много малки отрицателни стойности на аргумента х се определя със следните дефиниции:

Казва се, че

\lim_{ x \rightarrow \infty} f(x) = A, и съответно \lim_{ x \rightarrow -\infty} f(x) = A,

ако за произволно отнапред дадено ε > 0 съществува такова достатъчно голямо х0 > 0, че |f(x) - A| < ε за всички x > x0 или съответно за всички x < -x0.

С помощта на границата се определят такива основни математически понятия като непрекъснатост, производна и интеграл.

Вижте също[редактиране | edit source]