Абсолютна стойност

Графика на функцията

Абсолютна стойност или още модул на число се бележи с $|x|$ и е разстоянието от числото до нулата. Затова, ако имаме числото -23, $|-23|$ е разстоянието от -23 до 0, т.е. 23.

Модулът на числото 31 е еднакъв с модула на числото -31, защото те са на еднакво разстояние от нулата.

Дефиниция: $|x|=x$ при x > 0 и $|x|=-x$ при x < 0.

Затова

$|a-b|=|b-a|$

и

$|a+b|=|-a-b|$.

Стойностите на модула са винаги неотрицателни числа. Затова, ако искаме да извадим число извън модула пред скоби, това число може да е само положително.

По същия начин

$|ab|=a|b|$ при a > 0

и

$|ab|=-a|b|$ при a < 0.

За комплексно число $z=a+\mathrm{i}\,b$ абсолютната стойност е

$|z| = \sqrt{z \cdot \bar z} = \sqrt{(a + \mathrm{i}\,b) \cdot (a - \mathrm{i}\,b)} = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Пример за решаване на уравнение, съдържащо модул.

Да се реши уравнението |x+3| = 5 .

Разглеждаме отделно двата случая: x + 3 = 5 и x + 3 = -5. Получаваме двете решения x = 2 и x = -8.

История

Терминът "абсолютна стойност" е предложен от Коутс - ученик на Нютон. Знакът за модул е въведен през 19 в. от Вайерщрас. За комплексни числа това понятие е въведено от Коши и Арган през 19 в.