Комплексно число

Комплексно число е израз от вида a+bi, където a и b са реални числа, а i е имагинерната единица, за която е вярно че i² = -1. a и b се наричат реална и имагинерна част на числото. Например числото 3+2i има реална част 3 и имагинерна част 2. Реалните числа могат да се представят като комплексни с имагинерна част 0, например 2 = 2+0i.

Комплексните числа могат да се събират, изваждат, умножават и делят също като реалните. Освен това обаче те имат няколко допълнителни свойства, които често правят работата с комплексни числа по-удобна. Едно от тях е, че всеки полином има корен в множеството на комплексните числа. Например решенията на уравнението x²+x+1 = 0 са

$x_{1,2} = \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$

Дефиниция

Множеството на комплексните числа се означава с C или $\mathbb{C}$. Формално то се дефинира като множеството на всички наредени двойки реални числа, за които са въведени операции събиране и умножение по следните правила:

• $( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) \,$

• $( a , b ) \cdot ( c , d ) = ( ac - bd , bc + ad ) \$

С тези две операции множеството на комплексните числа образува поле. Ако z = (a,b) е комплексно число, то с Re z = a се означава реалната част, а с Im z = b - имагинерната част на числото. Множеството на числата от вида (а,0) заедно с така зададените операции е изоморфно на множеството на реалните числа, поради което вместо (a,0) се записва просто a. Имагинерната единица i отговаря на двойката (0,1). Непосредствено се проверява, че

$i^2 = (0,1)\cdot(0,1) = (-1,0) = -1$.

На практика този вид на записване на числата почти не се използва. Най-често те се записват в така наречения алгебричен вид a+ib, който е еквивалентен на формалната дефиниция, както се вижда от равенството:

$(a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (0,1)\cdot (b,0) = a+ib \,$

В този вид събирането, изваждането и умножението се извършват както при реалните числа, прилагайки допълнителното условие i² = −1:

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i ² = (ac−bd) + (bc+ad)i

Правилото за делене е по-сложно (вижте по-долу).

Геометрична интерпретация

Представяне на комплексните числа като вектори

Комплексните числа могат да се представят като точки или вектори в равнина, снабдена с декартова координатна система, която още се нарича комплексна равнина. В нея векторът z = a + ib има за координати реалната си част a и имагинерната си част b. Множеството от точки, отговарящи на реалните числа, се нарича реална ос, а множеството, отговарящо на чисто имагинерните числа, - имагнерна ос. Дължината на вектора се нарича модул или абсолютна стойност на комплексното число и се отбелязва с |z|, а ориентираният ъгъл между реалната ос и вектора - аргумент на числото и се отбелязва с Arg z. Ако числото z = a + ib има модул r и аргумент φ, то следващите формули дават връзка между коорднатите, модула и аргумента:

$a = r \cos \varphi \,$

$b = r \sin \varphi \,$

$r = \sqrt{a^2 + b^2} \,$

$\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \,$

$\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \,$

Използвайки формулата на Ойлер, можем да представим комплексното число z от така наречения тригонометричен вид (тригонометрична форма на запис) в експоненциална форма:

$z = a+ib = r \cos \varphi + ir\sin\varphi = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = re^{i\varphi}\,$

Когато числата са записани в експоненциална форма, формулите за умножение и деление са изключително прости:

$r_1 e^{i\varphi_1} \cdot r_2 e^{i\varphi_2} = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} \,$,

и

$\frac{r_1 e^{i\varphi_1}}{r_2 e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)}. \,$

Операциите с комплексните числа имат геометрична интерпретация в комплексната равнина. Събирането и изваждането на комплексни числа е еквивалентно на събирането и изваждането на вектори, а умножението е комбинация от въртене и хомотетия. Умножаването на числото z с числото w = re^iφ е еквивалентно на въртене на вектора z на ъгъл φ и умножаване на дължината му с r. Така например умножаването с i е еквивалентно на въртене на 90 градуса (π/2 радиана). Тогава геометричната интерпретация на i²= −1 е, че две последователни въртения на 90 градуса са еквивалентни на едно въртене на 180 градуса (π радиана).

Абсолютна стойност, комплексно спрягане, дължина

Както бе дефинирана по-горе, абсолютната стойност, също наричана модул или норма, на числото z се отбелязва с |z| и представлява дължината на вектора, съответстващ на z в комплексната равнина. Ако числото е написано в тригонометричен вид $z = r e^{i \varphi}\$, абсолютната стойност на z е равна на r, докато ако z е написано в алгебричен вид z = a + ib, тя се изразява чрез формулата:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Абсолютната стойност има следните свойства:

$| z | \geq 0 \,$

$| z | = 0 \,$ тогава и само тогава, когато $z = 0 \,$

$| z + w | \leq | z | + | w | \,$

$| z w | = | z | \; | w | \,$

От тях например следва, че |z/w| = |z|/|w|. С помощта на абсолютната стойност може да се дефинира функцията разстояние между комплексни числа d(z,w) = |z-w|. Геометрично това представлява дължината на отсечката, свързваща точките z и w в комплексната равнина. С тази функция множеството на комплексните числа се превръща в метрично пространство, което позволява да се дефинират понятия като граница на функция и непрекъсната функция. В това метрично пространство операциите събиране, изваждане, умножение и деление на комплекни числа са непрекъснати.

Комплексно спрегнато на числото z =a + ib е числото a - ib, което се означава с $\bar{z}$. Както се вижда от илюстрацията, $\bar{z}$ е симетрично на z спрямо реалната ос. Комплексно спрегнатото число има следните свойства:

$\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}$

$\overline{zw} = \bar{z}\bar{w}$

$\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}$

$\bar{\bar{z}}=z$

$\bar{z}=z$   тогава и само тогава, когато z е реално

$\overline{re^{i\varphi}} = re^{-i\varphi}$

$|z|=|\bar{z}|$

$|z|^2 = z\bar{z}$

$z^{-1} = {\bar{z}\over z\bar{z}} = {\bar{z}\over |z|^{2}}$   ако z не е нула. Последната формула е особено важна. Тя дава начин за пресмятане на реципрочното на комлексно число, записано в алгебричен вид.

Деление на комплексни числа

По-горе беше показано как се делят комплексни числа, записани в тригонометричен вид. Ако числата са записани в алгебричен вид, могат да се приведат в тригонометричен им вид и след това да се разделят по горната формула. Има още един начин за деление, при който това преобразуване се избягва. Нека са дадени числата a + ib и c + id, като второто е различно от 0. Тогава, за да се пресметне тяхното частно, е необходимо a + ib да се умножи с реципрочното на c+id, което може да се пресметне с помощта на формулата от предишната секция. На практика пресмятанията се извършват по следния начин:

${a + ib \over c + id} = {(a + ib) (c - id) \over (c + id) (c - id)} = {(ac + bd) + i (bc - ad) \over c^2 + d^2}$

$= \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + i\left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right).$

Формула на Моавър

Формулата на Моавър позволява да се степенува комплексно число, представено в тригонометричен вид:

$z^n = [r(\cos \varphi +i \sin \varphi)]^n = r^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi),$

където r е модулът, а φ — аргументът на комплексното число. В съвременната символика тя е публикувана от Ойлер през 1722 г.

История

Комплексните числа са се появили най-напред като "мними (въображаеми) величини" в известния труд на Кардано (1545) "Великото изкуство, или за алгебричните правила". Той считал, че са негодни за употреба.

Ползата от мнимите величини първи е оценил Бомбели (1572) - при решаването на кубични уравнения в т. нар. неприводим случай, когато реалните корени се изразяват чрез кубични корени от мними величини. Той дава най-простите правила за действия с комплексни числа.

През XVI - XVII в. математиците започват да наричат "мними" изрази от вида $a+b\sqrt{-1}$, появяващи се при решаване на квадратни и кубични уравнения. За много крупни учени от XVII в. обаче алгебричната и геометричната им същност остава неясна. Нютон например не включва мнимите величини в понятието число.

Задачата за изразяване на n-ти корен от дадено число е решена в работите на Моавър (A. de Moivre, 1707, 1724) и Р. Котес (R. Cotes, 1722).

Символът $i=\sqrt{-1}$ е предложен от Ойлер (1794), който използва първата буква от "imaginarius". През 1751 г. той изказва мисълта за алгебрична затвореност на полето на комплексните числа. До същия извод стига и д'Аламбер (1747), но първото строго доказателство на този факт е дадено от Гаус (1799). Той въвежда в употреба термина "комплексно число" през 1831 г.

Първото геометрично тълкуване на комплексните числа и действията над тях е изложено в работа на Весел (С. Wessel, 1799).

Геометричното представяне на комплексните числа влиза в употреба след публикуването на работата на Арган (J. R. Argand) - 1806 г. Аритметичната теория на комплексните числа като двойка реални числа е изградена от Хамилтон (1837). На него принадлежи и обобщението на комплексните числа - кватернионите.

Литература

• Татяна Аргирова, Теория на аналитичните функции, Университетско изд. "Св. Климент Охридски", С., 2003 ISBN 954-07-1805-8.

Вижте още

Реални числа