Имагинерна единица

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
\ldots (повтаря се моделът на областта в синьо)
i^{-3} = i\,
i^{-2} = -1\,
i^{-1} = -i\,
i^0 = 1\,
i^1 = i\,
i^2 = -1\,
i^3 = -i\,
i^4 = 1\,
i^5 = i\,
i^6 = -1\,
\ldots (повтаря се моделът на областта в синьо)

В математиката, физиката и инженерните науки имагинерната единица се означава с i\,   или латинското j\,  или гръцката буква ( ι ) (Виж алтернативните означения по-долу). Тя позволява системата на реалните числа, \mathbb{R}, да бъде разширена до системата на комплексните числа, \mathbb{C}.  Точната дефиниция на термина зависи от специфичния метод на разширение.

Главното основание за това разширение е фактът, че не всяко полиномиално уравнение f(x)=0 има реални решения. Например, уравнението x^2+1=0 няма реално решение (виж „Определение“ по-долу). Въпреки това, ако приемем комплексните числа за приемливи решения, всяко полиномиално уравнение f(x)=0 има решение. (Виж затвореност.)

За историята на имагинерната единица виж история на комплексните числа.


Определение[редактиране | edit source]

По определение, имегинерната единица i е едното решение(от две възможни) на квадратното уравнение

x^2 + 1 = 0 \

или съответно

x^2 =  -1 \ .

Доколкото не съществува реално число, което дава отрицателно реално число след като бъде повдигнато на квадрат, ние си въобразяваме (imagine) такова число и го означаваме със символа i. Дефиницията на i, макар и по-малко „интуитивна” от тази на реалните числа, е коректна от математическа гледна точка.

Действията с реални числа могат да бъдат разширени до действия с имагинерни и комплексни числа, приемайки i като неизвестна количествена величина, докато обработваме израза, и след това, използвайки определението, да заместим на всички места, на които се появява i 2 с −1. По-високите степени на i също могат да бъдат заместени с −i, 1, i, или −1:

i^3 = i^2 i = (-1) i = -i \,
i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1 \,
i^5 = i^4 i = (1) i = i \,

i и −i[редактиране | edit source]

Доколкото е полином (многочлен) от втора степен, а дискриминантата му е различно от нула (т. е. няма повтарящи се корени), горното уравнение има две различни решения, които са еднакво валидни, а в конкретния случай и взаимно инверсни както адитивно, така и мултипликативно. По-точно, ако едното решение на уравнението сме означили с i, стойността −i (която не е равна на i) също се явява негово решение. Доколкото уравнението е единственото определение на i, излиза, че определението ни е двусмислено (по точно, не добре дефинирано). Въпреки това, ако изберем едното от решенията за „положителноi", ни е не получаваме противоречащи си един на друг резултати. Това е така, защото въпреки че −i и i не се количествено еквивалентни (те са отрицателни едно по отношение на друго), няма качествена разлика между i и −i (което не може да бъде казано за −1 и +1). Двете имагинерни единици имат еднакво основание да бъдат числото, чийто квадрат е −1. Ако всички публикации и учебници по математика, свързани с имагинерните или комплексните числа, бъдат пренаписани, като на всяко място, където се появява −i, се замести с +i (и следователно на всяко място, където се появява −i, се замести с −(−i) = +i), всички математически факти и теореми ще продължат да бъдат еднакво валидни. Разграничаването на двата корена x в уравнението x^2 + 1 = 0 с означаването на единия от тях като "положителен" е артефакт изключително на нотацията; за нито един от двата корена не може да се каже, че e по-първостепенен или фундаментален от другия.

Този резултат крие някои тънкости. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че въпреки че комплексното поле, определено като R[X]/ (X2 + 1), (виж комплексно число) е еднозначно до степен на изоморфизъм, то не е еднозначно до степен на еднозначен' изоморфизъм — съществуват точно 2 автоморфизма на R[X]/ (X2 + 1), идентичността и автоморфизмът, изобразяващ X като −X. (Това не са единствените автоморфизми в полето C, но са единствените, които съхраняват стойностите на всички реални числа фиксирани.) Виж комплексно число, комплексно спрягане, автоморфизъм, и група на Галоа.

Подобни резултати се получават и ако комплексните числа се интерпретират като 2 × 2 реални матрици (виж комплексно число), защото тогава както

X = \begin{pmatrix}
  0 &     -1  \\
  1 & \;\; 0  
  \end{pmatrix}

така и

X = \begin{pmatrix}
   0 &      1  \\
  -1 & \;\; 0  
  \end{pmatrix}

са решения на матричното уравнение

 X^2 = -I \ .

В този случай двусмисленият резултат произтича от геометричния избор в коя "посока" около единичната окръжност е "положителната" ротация. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че групата на автоморфизъм на SO (2, R) има точно 2 елемента — идентичността и автоморфизмът, който преобразува ротацията по часовниковата стрелка в ротация срещу часовниковата стрелка, и обратно.

Всички тези противоречия могат да бъдат решени чрез избор на по-строга дефиниция на комплексните числа, и експлицитно избирайки едно от решенията на уравнението за имагинерна единица.

Прецизна употреба[редактиране | edit source]

Имагинерната единица понякога бива означавана като \sqrt{-1}; при всички случаи трябва да се подхожда голямо внимание при преобразуване на формули, които съдържат радикали. Нотацията е запазена единствено за квадратния корен като функция, дефинирана единствено за реални числа x ≥ 0. Опитът да се приложат правилата за преобразуване на математически изрази, които съдържат реалната функция корен квадратен, към математически изрази, които съдържат комплексната функция корен квадратен, ще доведе до погрешен резултат:

-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1    (погрешно)

Правилото

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}

е валидно само за реални, неотрицателни стойности наa и b.

За да се избегнат подобни грешки, когато се извършват действия с комплексни числа, стратегията е никога да не се употребява отрицателно число под знака за квадратен корен. Вместо да се запише израз от вида \sqrt{-7} например, прецизният запис налага да запишем i\sqrt{7}. Това е и причината, поради която е въведена имагинерната единица.

Корен квадратен от имагинерна единица[редактиране | edit source]

Може да предположим, че ще се наложи да разширим множеството на имагинерните числа, за да въведем квадратния корен от i. Това обаче не е необходимо и той може да бъде записан като което и да е от две комплексни числа [1]:

 \pm \sqrt{i} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i)

Това лесно може да бъде доказано:

\left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i) \right)^2 \ = \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 (1 + i)^2 \
= (\pm 1)^2 \frac{1}{2} (1 + i)(1 + i) \
= \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \quad \quad \quad  (i^2 = -1) \
= \frac{1}{2} + i - \frac{1}{2}  \
= i \

Степени на i[редактиране | edit source]

Степените на i се повтарят циклично:

\ldots
i^{-3} = i\,
i^{-2} = -1\,
i^{-1} = -i\,
i^0 = 1\,
i^1 = i\,
i^2 = -1\,
i^3 = -i\,
i^4 = 1\,
i^5 = i\,
i^6 = -1\,
\ldots

Тази зависимост може да бъде представена схематично по следния начин:

i^{4n} = 1\,
i^{4n+1} = i\,
i^{4n+2} = -1\,
i^{4n+3} = -i\,

В случая n е произволно избрано цяло число. Оттук следва изводът, че

i^n = i^{n \bmod 4}\,.

i и формулата на Ойлер[редактиране | edit source]

Формулата на Ойлер гласи:

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \, ,

където x е реално число. Формулата може също да бъде аналитично разширена за комплексни x.

Замествайки x = \pi , получаваме

e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + i0 \,

и достигаме до елегантното тъждество на Ойлер:

e^{i\pi} + 1 = 0\,.

Това забележително просто равенство свързва пет важни математически величини (0, 1, π, e, чрез i) чрез основните действие сумиране, умножение и повдигане на степен.

Пример[редактиране | edit source]

Заместването на x = \pi/2 - 2N\pi,, където N е произволно избрано цяло число, дава

e^{i(\pi/2 - 2N\pi)} = i\,

Или, повдигайки всяка от страните на степен i,

e^{i i(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,

или

e^{-(\pi/2 - 2N\pi)} = i^i \,,

което показва, че i^i\, има безкраен брой елементи от вида

i^i = e^{-\pi/2 + 2\pi N}\,

където N е произволно цяло число. Тази реална стойност, въпреки че е реална, не е еднозначно определена. Причината за това се съдържа във факта, че комплексният логаритъм е функция, която има много значения.

Действия с i[редактиране | edit source]

Много математически операции, които магат да бъдат извършени с реалните числа, могат да бъдат извършени също с i, като повдигане на степен, коренуване, логаритмуване и тригонометрични функции .

Число, подигнато на степен ni, дава:

 \!\ x^{ni} = \cos(\ln(x^n)) + i \sin(\ln(x^n))

Корен  ni ти от число е:

 \!\ \sqrt[ni]{x} = \cos(\ln(\sqrt[n]{x})) - i \sin(\ln(\sqrt[n]{x}))

Логаритъм при основа  i от число е:

 \log_i(x) = {{2 \ln(x)} \over i\pi}

Косинусът на i е реално число:

 \cos(i) = \cosh(1) = {{e + 1/e} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e} = 1.54308064

Синусът на i е имагинерен:

 \sin(i) = \sinh(1) \, i = {{e - 1/e} \over 2} \, i = {{e^2 - 1} \over 2e} \, i = 1.17520119 \, i

Алтернативни означения[редактиране | edit source]

  • В електроинженерните науки и свързаните с тях области имагинерната единица често се записва като j\, за да се избегне объркване с електрическия ток като функция от времето, по традиция означаван с i(t)\, или просто i.\,   Програмният език Python също използва j за означаване на имагинерната единица, докато в Matlab и двете означения i и j са свързани с имагинерната единица.
  • По-внимателен подход изискват и някои учебници, където по дефиниция j = −i, в часност при случаите с разпространение на вълна (напр. плоска вълна, разпространяваща се надясно в направление x e^{ i (kx - \omega t)} = e^{ j (\omega t-kx)} \,).
  • Някои текстове използват гръцката буква йота (ι) за означаване на имагинерната единиза с цел да се избегне объркване.

Бележки[редактиране | edit source]

  1. На колко е равен квадратният корен от i?(en) URL актуализиран на 15 декември 2010.

Виж също[редактиране | edit source]

Външни препратки[редактиране | edit source]

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Imaginary unit“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.