Дискриминанта

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Дискриминанта на полином (многочлен) на една променлива е число, което е равно на нула, тогава и само тогава, когато полиномът има повтарящ се корен. Точната дефиниция на дискриминантата на полинома

f(x) = a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0

e

D(f) = a_n^{2n-2}\prod_{1 \leq i < j \leq n} \left ( x_i - x_j \right ) ^ 2

където x1, x2, …, xn са всички n корена на полинома, броени с кратностите им.

Свойства[редактиране | edit source]

\left(\begin{matrix}
 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\
 & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 & 0 & \ldots & 0 \\
 & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
 & 0 & 0& \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_0 \\
 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\
 & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 & 0 & \ldots & 0 \\
 & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
 & 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & a_1 \\
\end{matrix}\right)

Някои автори приемат горния израз за дефиниция на дискриминантата.

Примери[редактиране | edit source]

  • Дискриминантата на полином от втора степен P(x) = ax2+bx+c, е
D = \left ( x_1 - x_2 \right ) ^ 2 = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 - 4 x_1 x_2 = \left ( x_1 + x_2 \right ) ^ 2 - 4 x_1 x_2

Последният израз чрез замяна на коефициентите дава числото b2-4ac.

  • Дискриминантата на полином от трета степен P(x) = ax3+bx2+cx+d, e
 D = c^2 b^2-4d b^3-4c^3 a+18d c b a-27d^2 a^2