Формули на Виет

Формулите на Виет изразяват зависимостите между коефициентите на даден полином и неговите корени.

Нека е даден полином $P(x)=a_0+a_1x+ \ldots +a_nx^n$ с коефициенти $a_0, a_1, \ldots ,a_n$ от поле $F$

и корени $x_1, x_2, \ldots, x_n$ в $F$ или разширение $E$ на $F$.

$P(x) = a_0 + a_1 x + \ldots +a_n x^n = a_n(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_n)$ Тогава като приравним коефициентите пред съответните степени на x на равенството, получаваме:

$x_1 + x_2 +\ldots+ x_n = {-a_{n-1} \over a_n}$

$x_1x_2 + x_1x_3 +\ldots+ x_{n-1} x_n = {a_{n-2} \over a_n}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots$

$x_1x_2\ldots x_n=(-1)^n{a_0\over a_n }$

Нека квадратно уравнение $ax^2 + bx + c = 0\!$ има корени $x_1\!$ и $x_2\!$, то за тях са в сила следните зависимости:

$x_1 + x_2 = {-b \over a}$

$x_1 x_2 = {c \over a}$

Формулите на Виет дават възможност да се определят знаците на корените, ако те са реални, без да се решава уравнението. Така например ако произведението им е отрицателно е ясно, че двата корена са реални и с различни знаци. А ако е положително, ако са реални са с еднакви знаци. От друга страна съществува и теорема, обратна на тази на Виет, според която ако две числа $x_1$ и $x_2$ изпълняват условията $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1.x_2=q$, то тези числа са корени на уравнението $x^2 + px + q = 0$.