Формули на Виет

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Формулите на Виет изразяват зависимостите между коефициентите на даден полином и неговите корени.

Нека е даден полином P(x)=a_0+a_1x+ \ldots +a_nx^n с коефициенти a_0, a_1, \ldots ,a_n от поле F

и корени x_1, x_2, \ldots, x_n в F или разширение E на F.

P(x) = a_0 + a_1 x + \ldots +a_n x^n = a_n(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_n) Тогава като приравним коефициентите пред съответните степени на x на равенството, получаваме:

x_1 + x_2 +\ldots+ x_n = {-a_{n-1} \over a_n}
x_1x_2 + x_1x_3 +\ldots+ x_{n-1} x_n = {a_{n-2} \over a_n}
\ldots \ldots \ldots \ldots
 x_1x_2\ldots x_n=(-1)^n{a_0\over a_n }

Нека квадратно уравнение ax^2 + bx + c = 0\! има корени x_1\! и x_2\!, то за тях са в сила следните зависимости:

x_1 + x_2 = {-b \over a}
x_1 x_2 = {c \over a}

Формулите на Виет дават възможност да се определят знаците на корените, без да се решава уравнението. Така например ако произведението им е отрицателно е ясно, че двата корена са реални и с различни знаци. А ако е положително, ако са реални са с еднакви знаци. От друга страна съществува и теорема, обратна на тази на Виет, според която ако две числа x_1 и x_2 изпълняват условията x_1 + x_2 = -p и x_1.x_2=q, то тези числа са корени на уравнението x^2 + px + q = 0.

Формулите на Виет се отнасят не само за реални, но и за комплексни числа!