Детерминанта

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

Детерминанта в алгебрата е функция, съпоставяща на квадратна матрица над комутативен пръстен с единица K елемент от пръстена - многочлен, в който всеки едночлен е произведение от по един множител от всеки ред и стълб на матрицата с определен знак в зависимост от четността на пермутацията от елементи.

Детерминантата е важна характеристика на матриците с разнообразно приложение в линейната алгебра, комплексния и функционалния анализ, аналитичната и диференциалната геометрия и др.

Начини за изчисляване[редактиране | edit source]

По дефиниция детерминантата на една матрица е равна на:

\left | A \right | = \sum (-1)^t a_{1 i} a_{2 j} \ldots a_{n k}

където t е броят на инверсиите в пермутацията (i, j, … , k).

Чрез изваждане пред скоби на даден елемент aij в скобите остава съответното адюнгирано количество Aij. Съгласно теоремата на Лаплас детерминантата може да се развие по произволен ред i или по стълб j:

\left | A \right | = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{ik} = \sum_{k=1}^n a_{kj} A_{kj}

Свойства[редактиране | edit source]

Ако стълбовете на матрицата се разглеждат като вектори от линейно пространство, то антисиметричната полилинейна форма D върху пространството M, която приема стойност единица върху базисните вектори на пространството, е детерминанта. Такова определение е коректно, защото съществува единствена такава форма[1].

  • Ако ред (стълб) от матрицата се умножи с число, то детерминантата се умножава със същото.
  • Ако се разменят местата на два реда, детерминантата мени знака си.
  • Ако ред се умножи с число и се прибави към друг ред, детерминантата не се променя.

Източници[редактиране | edit source]

  1. Б.Л. ван дер Варден, Алгебра, второ издание, изд. «Наука», Москва, 1979, В 20203-034/053(02)-79 31-79; стр. 98