Вектор

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене

В математиката и физиката вектори се наричат елементите на линейните пространства. Най-често те се отъждествяват с координатните си представяния като наредени n-орки от съответното числово поле. Така евклидовите пространства \ \mathbb{R}^2 и \ \mathbb{R}^3 се отъждествяват със съответно евклидовите равнина - (x,y), и пространство - (x,y,z), където x, y и z са реални числа.

Определение[редактиране | edit source]

В аналитичната геометрия се използват следните определения за вектор в равнината и пространството. - Отсечка, на която единият край е избран за първи (начало), а другият за втори наричаме насочена отсечка (свързан вектор). Множеството от всички насочени отсечки, равни на дадена насочена отсечка \overrightarrow{AB} наричаме вектор (свободен вектор), породен от насочената отсечка \overrightarrow{AB}. Всяка от тези насочени отсечки \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a} наричаме представител на вектора \overrightarrow{a}.

Във всяка точка всеки вектор има точно един представител. Посока и дължина на вектор наричаме посоката и дължината на кой да е негов представител. Нулев вектор \overrightarrow{0} - има за представител коя да е нулева насочена отсечка, т.е. той няма посока и има дължина 0. За краткост, ако \overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB} или \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a} разбираме, че е даден вектор с представител насочената отсечка \overrightarrow{AB}, т.е. \overrightarrow{AB} \in \overrightarrow{a}

  • Нулева насочена отсечка - началната точка А съвпада с крайната точка В
  • Ненулева насочена отсечка - началната точка А не съвпада с крайната точка В
  • Дължина - на насочената отсечка \overrightarrow{AB} наричаме дължината на отсечката АВ, т.е разстоянието

от А до В.

Елементи на ненулевия вектор[редактиране | edit source]

  • начало - точка А
  • край - точка В
  • посока - посоката на лъча \overrightarrow{AB}
  • директриса - правата АВ
  • дължина - дължината на АВ

Еднопосочни и разнопосочни вектори[редактиране | edit source]

  • Два ненулеви вектора са еднопосочни, т.е \overrightarrow{AB} \upuparrows \overrightarrow{CD}, ако лъчите \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CD} са еднопосочни
  • Две ненулеви отсечки са разнопосочни, т.е. \overrightarrow{AB} \uparrow \downarrow \overrightarrow{CD}, ако лъчите \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CD} са разнопосочни

Свойства на ненулевите вектори[редактиране | edit source]

  • Всяка насочена отсечка е равна на себе си;
  • Ако \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, то и \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB};
  • Ако \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} и \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}, то \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EF}.

Насочена права[редактиране | edit source]

Ос (насочена права) х наричаме права, на която едната от двете ѝ посоки е избрана за положителна, а другата - за отрицателна.

Алгебрична мярка[редактиране | edit source]

Алгебрична мярка (относителна стойност) АВ на ненулевата насочена отсечка АВ върху ос наричаме дължина на вектор, взета със знак плюс (+) или минус(-) в зависимост от това дали посоката ѝ съвпада с положителната или отрицателната посока на оста, т.е алгебричната мярка е реално число, като \overrightarrow{AB} = + \mid \overrightarrow{AB}\mid или \overrightarrow{AB} = - \mid \overrightarrow{AB}\mid

Действия с вектори[редактиране | edit source]

множеството от всички насочени отсечки, равни на дадена насочена отсечка АВ

Видове вектори[редактиране | edit source]

  • Векторът - \overrightarrow{a} с представител \overrightarrow{BA} наричаме противоположен на вектора \overrightarrow{a} с представител \overrightarrow{AB}.
  • Колинеарни са група вектори, които лежат на една права или на успоредни прави.
  • Компланарни са група вектори, които лежат в една равнина или в успоредни равнини. Всяка двойка вектори е компланарна.

Действия с вектори в равнината[редактиране | edit source]

Равенство[редактиране | edit source]

\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \mid \overrightarrow{a} \mid = \mid\overrightarrow{b}\mid \Leftrightarrow \overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}


Сума[редактиране | edit source]

  • Правило на триъгълника:
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} =  \overrightarrow{AC}
  • Правило на успоредника:
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} =  \overrightarrow{AC}
  • Правило на многоъгълника:
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF}
  • Свойства:

\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}

(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})

\overrightarrow{a} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{a}

\overrightarrow{0} + (-\overrightarrow{a}) = - \overrightarrow{a}

\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) =  \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}

Разлика[редактиране | edit source]

  • От правилото на триъгълника и правилото на успоредника следва:

\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} =  \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})

Произведение[редактиране | edit source]

Произведение с реално число[редактиране | edit source]

Произведение на вектор \overrightarrow{a} \ne \overrightarrow{0} с число λ ∈ R наричаме вектора \lambda \overrightarrow{a} с дължината \mid \lambda \overrightarrow{a} \mid = \mid \lambda \mid * \mid \overrightarrow{a} \mid и с посока:

 \lambda \overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{a}, ако λ>0 и

 \lambda \overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{a}, ако λ<0

Ако \lambda = 0 или \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}, то \lambda * \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}.


Свойства на произведението[редактиране | edit source]

 \lambda * (\mu \overrightarrow{a}) = (\lambda \mu) * \overrightarrow{a}

 (\lambda + \mu) * \overrightarrow{a} = \lambda \overrightarrow{a} +  \mu \overrightarrow{a}

 \lambda * (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \lambda \overrightarrow{a} +  \lambda \overrightarrow{b}

Вектори в пространството[редактиране | edit source]

Векторна база в пространството[редактиране | edit source]

Определение[редактиране | edit source]

Нека \overrightarrow{a}{,~} \overrightarrow{b} {,~} и \overrightarrow{c} са ненулеви вектори в пространството и точка О е произволна точка. Нека \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a} {,~} \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b} {,~} \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}{.}

Векторите \overrightarrow{a} {,~} \overrightarrow{b} {,~} \overrightarrow{c}{.} се наричат компланарни, ако точките О, А, В и С лежат в една или в успоредни равнини.

Ако лежат в различни равнини, те се наричат некомпланарни. Прието е нулевият вектор да е компланарен с произволна двойка вектори.

Тройка некомпланарни вектори в пространството се наричат векторна база в пространството.

Теореми[редактиране | edit source]

Ако векторите \overrightarrow{a}{,~} \overrightarrow{b} {,~} \overrightarrow{c} образуват база \{
 \overrightarrow{a}{;~} \overrightarrow{b} {;~} \overrightarrow{c} \} в пространството, то за всеки вектор съществува единствено базисно представяне в тази база.

Следствие: Ако \{ \overrightarrow{a}{;~} \overrightarrow{b} {;~} \overrightarrow{c} \} е векторна база в пространството, то равенство от вида  \alpha \overrightarrow{a} + \beta \overrightarrow{b} + \gamma \overrightarrow{c} = {m} \overrightarrow{a} + {n} \overrightarrow{b} + {p} \overrightarrow{c} е възможно тогава и само тогава, когато  \alpha = {m} {,~} \beta = {n}{,~}  \gamma = {p}

Скаларно произведение на вектори в пространството[редактиране | edit source]

Скаларно произведение на два ненулеви вектора  \overrightarrow{a} {,~} \overrightarrow{b} е числото  \mid \overrightarrow{a} \mid * \mid \overrightarrow{b} \mid * \cos{\angle{(\overrightarrow{a} {;} \overrightarrow{b})}} {~,}

където  \cos{\angle{(\overrightarrow{a} {;} \overrightarrow{b})}} е косинусът на ъгъла между двата вектора, a  \mid \overrightarrow{a} \mid и  \mid \overrightarrow{b} \mid са дължините на векторите. Ъгълът може да приема стойности в интервала \left [ {0^o;180^o} \right ].