Вектор

В математиката и физиката вектори се наричат елементите на линейните пространства. Най-често те се отъждествяват с координатните си представяния като наредени n-орки от съответното числово поле. Така евклидовите пространства $\ \mathbb{R}^2$ и $\ \mathbb{R}^3$ се отъждествяват със съответно евклидовите равнина - (x, y) и пространство - (x, y, z), където x, y, z са реални числа.

Определение

В аналитичната геометрия се използват следните определения за вектор в равнината и пространството. - Отсечка, на която единият край е избран за първи (начало), а другият за втори ,наричаме насочена отсечка (свързан вектор). Множеството от всички насочени отсечки, равни на дадена насочена отсечка $\overrightarrow{AB}$ наричаме вектор (свободен вектор), породен от насочената отсечка $\overrightarrow{AB}$. Всяка от тези насочени отсечки $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ наричаме представител на вектора $\overrightarrow{a}$. Във всяка точка всеки вектор има точно един представител. Посока и дължина на вектор наричаме посоката и дължината на кой да е негов представител. Нулев вектор $\overrightarrow{0}$ - има за представител коя да е нулева насочена отсечка, т.е. той няма посока и има дължина 0. За краткост, ако $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$ или $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ разбираме, че е даден вектор с представител насочената отсечка $\overrightarrow{AB}$, т.е. $\overrightarrow{AB} \in \overrightarrow{a}$

• Нулева насочена отсечка - началната точка А съвпада с крайната точка В
• Ненулева насочена отсечка - началната точка А не съвпада с крайната точка В (виж фиг.1)
• Дължина - на насочената отсечка АВ^→наричаме дължината на отсечката АВ, т.е разстоянието

от А до В.

Елементи на ненулевия вектор

• начало - точка А
• край - точка В
• посока - посоката на лъча $\overrightarrow{AB}$
• директриса - правата АВ
• дължина - дължината на АВ

Еднопосочни и разнопосочни вектори

• Два ненулеви вектора са еднопосочни, т.е $\overrightarrow{AB} \upuparrows \overrightarrow{CD}$, ако лъчите $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ са еднопосочни
• Две ненулеви отсечки са разнопосочни, т.е. $\overrightarrow{AB} \uparrow \downarrow \overrightarrow{CD}$, ако лъчите $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ са разнопосочни

Свойства на ненулевите вектори

• Всяка насочена отсечка е равна на себе си;
• Ако $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, то и $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$;
• Ако $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}$, то $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EF}$.

Насочена права

Ос (насочена права) х наричаме права, на която едната от двете ѝ посоки е избрана за положителна, а другата - за отрицателна.

Алгебрична мярка

Алгебрична мярка (релативна стойност) АВ^— на ненулевата насочена отсечка АВ^→ върху ос наричаме дължина на вектор, взета със знак плюс (+) или минус(-) в зависимост от това дали посоката ѝ съвпада с положителната или отрицателната посока на оста, т.е алгебричната мярка е реално число, като $\overrightarrow{AB} = + \mid \overrightarrow{AB}\mid$ или $\overrightarrow{AB} = - \mid \overrightarrow{AB}\mid$

Действия с вектори

множеството от всички насочени отсечки, равни на дадена насочена отсечка АВ^→

Видове вектори

• Векторът $- \overrightarrow{a}$ с представител $\overrightarrow{BA}$ наричаме противоположен на вектора $\overrightarrow{a}$ с представител $\overrightarrow{AB}$.
• Колинеарни са група вектори, които лежат на една права или на успоредни прави.
• Компланарни са група вектори, които лежат в една равнина или в успоредни равнини. Всяка двойка вектори е компланарна.

Действия с вектори в равнината

Равенство

$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \mid \overrightarrow{a} \mid = \mid\overrightarrow{b}\mid \Leftrightarrow \overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}$

Сума

• Правило на триъгълника:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

• Правило на успоредника:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$

• Правило на многоъгълника:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF}$

• Свойства:

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$

$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{0} + (-\overrightarrow{a}) = - \overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$

Разлика

• От правилото на триъгълника и правилото на успоредника следва:

$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})$

Произведение

Произведение с реално число

Произведение на вектор $\overrightarrow{a} \ne \overrightarrow{0}$ с число λ ∈ R наричаме вектора $\lambda \overrightarrow{a}$ с дължината $\mid \lambda \overrightarrow{a} \mid = \mid \lambda \mid * \mid \overrightarrow{a} \mid$ и с посока:

$\lambda \overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{a}$, ако λ>0 и

$\lambda \overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{a}$, ако λ<0

Ако $\lambda = 0$ или $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$, то $\lambda * \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$.

Свойства на произведението

$\lambda * (\mu \overrightarrow{a}) = (\lambda \mu) * \overrightarrow{a}$

$(\lambda + \mu) * \overrightarrow{a} = \lambda \overrightarrow{a} + \mu \overrightarrow{a}$

$\lambda * (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \lambda \overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{b}$

Вектори в пространството

Векторна база в пространството

Определение

Нека $\overrightarrow{a}{,~} \overrightarrow{b} {,~}$ и $\overrightarrow{c}$ са ненулеви вектори в пространството и точка О е произволна точка. Нека $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a} {,~} \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b} {,~} \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}{.}$

Векторите $\overrightarrow{a} {,~} \overrightarrow{b} {,~} \overrightarrow{c}{.}$ се наричат компланарни, ако точките О, А, В и С лежат в една или в успоредни равнини.

Ако лежат в различни равнини, те се наричат некомпланарни. Прието е нулевият вектор да е компланарен с произволна двойка вектори.

Тройка некомпланарни вектори в пространството се наричат векторна база в пространството.

Теореми

Ако векторите $\overrightarrow{a}{,~} \overrightarrow{b} {,~} \overrightarrow{c}$ образуват база $\{ \overrightarrow{a}{;~} \overrightarrow{b} {;~} \overrightarrow{c} \}$ в пространството, то за всеки вектор съществува единствено базисно представяне в тази база.

Следствие: Ако $\{ \overrightarrow{a}{;~} \overrightarrow{b} {;~} \overrightarrow{c} \}$ е векторна база в пространството, то равенство от вида $\alpha \overrightarrow{a} + \beta \overrightarrow{b} + \gamma \overrightarrow{c} = {m} \overrightarrow{a} + {n} \overrightarrow{b} + {p} \overrightarrow{c}$ е възможно тогава и само тогава, когато $\alpha = {m} {,~} \beta = {n}{,~} \gamma = {p}$

Скаларно произведение на вектори в пространството

Скаларно произведение на два ненулеви вектора $\overrightarrow{a} {,~} \overrightarrow{b}$ е числото $\mid \overrightarrow{a} \mid * \mid \overrightarrow{b} \mid * \cos{\angle{(\overrightarrow{a} {;} \overrightarrow{b})}} {~,}$

където $\cos{\angle{(\overrightarrow{a} {;} \overrightarrow{b})}}$ е косинусът на ъгъла между двата вектора, a $\mid \overrightarrow{a} \mid$ и $\mid \overrightarrow{b} \mid$ са дължините на векторите. Ъгълът може да приема стойности в интервала $\left [ {0^o;180^o} \right ]$.