Вектор

от Уикипедия, свободната енциклопедия

В математиката и физиката вектори се наричат елементите на линейните пространства. Най-често те се отъждествяват с координатните си представяния като наредени n-орки от съответното числово поле. Така евклидовите пространства $\ \mathbb{R}^2$ и $\ \mathbb{R}^3$ се отъждествяват със съответно евклидовите равнина - (x, y) и пространство - (x, y, z), където x, y, z са реални числа.

[редактиране] Определение

В аналитичната геометрия се използват следните определения за вектор в равнината и пространството. - Отсечка, нa която единият край е избран за първи (начало), а другият за втори (край),наричаме насочена отсечка (свързан вектор). Множеството от всички насочени отсечки, равни на дадена насочена отсечка $\overrightarrow{AB}$ наричаме вектор (свободен вектор), породен от насочената отсечка $\overrightarrow{AB}$ . Всяка от тези насочени отсечки $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ наричаме представител на вектора $\overrightarrow{a}$ . Във всяка точка всеки вектор има точно един представител. Посока и дължина на вектор наричаме посоката и дължината на кой да е негов представител. Нулев вектор $\overrightarrow{0}$ - има за представител коя да е нулева насочена отсечка, т.е. той няма посока и има дължина 0. За краткост, ако $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$ или $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ разбираме, че е даден вектор с представител насочената отсечка $\overrightarrow{AB}$ , т.е. $\overrightarrow{AB} \in \overrightarrow{a}$

Нулева насочена отсечка - началната отсечка А съвпада с крайната точка В
Ненулева насочена отсечка - началната точка А не съвпада с крайната точка В (виж фиг.1)
Дължина - на насочената отсечка АВ^→наричаме дължината на отсечката АВ, т.е разстоянието

от А до В.

[редактиране] Eлементи на ненулевия вектор

начало - точка А
край - точка В
посока - посоката на лъча $\overrightarrow{AB}$
директриса - правата АВ
дължина - дължината на АВ

[редактиране] Еднопосочни и противопосочни вектори

Два ненулеви вектора са еднопосочни, т.е $\overrightarrow{AB} \upuparrows \overrightarrow{CD}$ , ако лъчите $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ са еднопосочни
Две ненулеви отсечки противопосочни, т.е. $\overrightarrow{AB} \uparrow \downarrow \overrightarrow{CD}$ , ако лъчите $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ са противопосочни

[редактиране] Свойства на ненулевите вектори

Всяка насочена е отсечка равна на себе си;
Ако $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ , то и $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$ ;
Ако $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}$ , то $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EF}$ .

[редактиране] Насочена права

Oс (насочена права) х наричаме права, на която едната от двете ѝ посоки е избрана за положителна, а другата - за отрицателна.

[редактиране] Алгебрична мярка

Алгебрична мярка (релативна стойност) АВ^— на ненулевата насочена отсечка АВ^→ върху ос наричаме дължина на вектор, взета със знак плюс (+) или минус(-) в зависимост от това дали посоката ѝ съвпада с положителната или отрицателната посока на оста, т.е алгебричната мярка е реално число, като $\overrightarrow{AB} = + \mid \overrightarrow{AB}\mid$ или $\overrightarrow{AB} = - \mid \overrightarrow{AB}\mid$

[редактиране] Действия с вектори

множеството от всички насочени отсечки, равни на дадена насочена отсечка АВ^→

[редактиране] Видове вектори

Векторът $- \overrightarrow{a}$ с представител $\overrightarrow{BA}$ наричаме противоположен на вектора $\overrightarrow{a}$ с представител $\overrightarrow{AB}$ .
Колинеарни са група вектори, които лежат на една права или на успоредни прави.
Компланарни са група вектори, които лежат в една равнина или в успоредни равнини. Всяка двойка вектори е компланарна.

[редактиране] Действия с вектори в равнината

[редактиране] Равенство

$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \mid \overrightarrow{a} \mid = \mid\overrightarrow{b}\mid \Leftrightarrow \overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{b}$

[редактиране] Сума

Правило на триъгълника:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

Правило на успоредника:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$

Правило на многоъгълника:
Свойства:

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$

$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{0} + (-\overrightarrow{a}) = - \overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$

[редактиране] Разлика

От правилото на триъгълника и правилото на успоредника следва:

$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})$

[редактиране] Произведение

[редактиране] Произведение с реално число

Произведение на вектор $\overrightarrow{a} \ne \overrightarrow{0}$ с число λ ∈ R наричаме вектора $\lambda \overrightarrow{a}$ с дължината $\mid \lambda \overrightarrow{a} \mid = \mid \lambda \mid * \mid \overrightarrow{a} \mid$ и с посока:

$\lambda \overrightarrow{a} \upuparrows \overrightarrow{a}$ , ако λ>0 и

$\lambda \overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{a}$ , ако λ<0

Ако $λ = 0$ или $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ , то $\lambda * \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ .

[редактиране] Свойства на произведението

$\lambda * (\mu \overrightarrow{a}) = (\lambda \mu) * \overrightarrow{a}$

$(\lambda + \mu) * \overrightarrow{a} = \lambda \overrightarrow{a} + \mu \overrightarrow{a}$

$\lambda * (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \lambda \overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{b}$

[редактиране] Вектори в пространството

[редактиране] Векторна база в пространството

[редактиране] Определение

Нека $\overrightarrow{a}{,~} \overrightarrow{b} {,~}$ и $\overrightarrow{c}$ са ненулеви вектори в пространството и точка О е произволна точка. Нека $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a} {,~} \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b} {,~} \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}{.}$

Векторите $\overrightarrow{a} {,~} \overrightarrow{b} {,~} \overrightarrow{c}{.}$ се наричат компланарни, ако точките О, А, В и С лежат в една или в успоредни равнини.

Ако лежат в различни равнини, те се наричат некомпланарни. Прието е нулевият вектор да е компланарен с произволна двойка вектори.

Тройка некомпланарни вектори в пространството се наричат векторна база в пространството.

[редактиране] Теореми

Ако векторите $\overrightarrow{a}{,~} \overrightarrow{b} {,~} \overrightarrow{c}$ образуват база $\{ \overrightarrow{a}{;~} \overrightarrow{b} {;~} \overrightarrow{c} \}$ в пространството, то за всеки вектор съществува единствено базисно представяне в тази база.

Следствие: Ако $\{ \overrightarrow{a}{;~} \overrightarrow{b} {;~} \overrightarrow{c} \}$ е векторна база в пространството, то равенство от вида $\alpha \overrightarrow{a} + \beta \overrightarrow{b} + \gamma \overrightarrow{c} = {m} \overrightarrow{a} + {n} \overrightarrow{b} + {p} \overrightarrow{c}$ е възможно тогава и само тогава, когато $\alpha = {m} {,~} \beta = {n}{,~} \gamma = {p}$

[редактиране] Скаларно произведение на вектори в пространството

Скаларно произведение на два ненулеви вектора $\overrightarrow{a} {,~} \overrightarrow{b}$ е числото $\mid \overrightarrow{a} \mid * \mid \overrightarrow{b} \mid * \cos{\angle{(\overrightarrow{a} {;} \overrightarrow{b})}} {~,}$

където $\cos{\angle{(\overrightarrow{a} {;} \overrightarrow{b})}}$ е косинусът на ъгъла между двата вектора, a $\mid \overrightarrow{a} \mid$ и $\mid \overrightarrow{b} \mid$ са дължините на векторите. Ъгълът може да приема стойности в интервала $\left [ {0^o;180^o} \right ]$ .