Формула на Ойлер

Графика, показваща взаимовръзката между $\sin \varphi$, $\cos \varphi$ и комплексната експоненциална функция.

Формулата на Ойлер е математическа формула от областта на комплексния анализ, показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.

Формулата на Ойлер гласи, че за всяко реално число $\varphi$:

$e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!$

където: е — основа на натуралния логаритъм,

i — имагинерна единица,

$\sin$ и $\cos$ са тригонометрични функции.

Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер "скъпоценен камък" и "най-важната формула" в цялата математика (Feynman, p. 22-10).

Ако искаме да обясним формулата на Ойлер с най-прости думи, това е равносилно на ротация на единичен вектор на ъгъл $\varphi$.

Извод

Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини. Един от най-елегантните изводи прибягва до помощта на комплексен интеграл.: Нека z е комплексно число с модул единица в тригонометричен вид

$z \equiv \cos \varphi + i\sin \varphi \!$.

След диференциране и преобразуване, получаваме

$d z = d (\cos \varphi + i\sin \varphi \!)$

$d z = (-\sin \varphi + i\cos \varphi \!) d\varphi$

$d z = i(i\sin \varphi + \cos \varphi \!) d\varphi$

$d z = i(\cos \varphi + i\sin \varphi \!) d\varphi$

$d z = izd\varphi$

$\frac{ d z }{z} = id\varphi$

$\int \frac{ d z }{z} = \int id\varphi$

$\ln z = i\varphi +C$

$z = Ae^{i\varphi}$

където А е произволна константа, която се определя със следното съображение:

$z(0) = A = \cos(0) + i\sin(0) = 1$

и оттук

$e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!$.

Тъждество на Ойлер

В частния случай, когато

$\varphi = \pi \!$

получаваме

$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!$

Доколкото

$\cos \pi = -1 \, \!$

и

$\sin \pi = 0,\,\!$

следва

$e^{i \pi} = -1,\,\!$

а оттук и

$e^{i \pi} +1 = 0,\,\!$

което е и прочутото тъждество на Ойлер. По същия начин, когато аргументът е равен на $\frac{\pi}{2},$ получаваме

$e^\frac{i \pi}{2} = i, \!$

друга многозначителна математическа зависимост, свързана с имагинерната единица.