Експоненциална функция

от Уикипедия, свободната енциклопедия
Направо към: навигация, търсене
Експоненциалната функция y = e^x

В математиката, експоненциалната функция е тази функция, която е равна на собствената си производна. Бележи се с ex, където е е Ойлеровото число (равно приблизително на 2.718). Използва се за изразяване на функционална връзка, при която фиксирана промяна в абсолютната стойност на независимата променлива води до фиксирана пропорционална промяна (т.е. процентно увеличение или намаляване) в стойността на функцията. Експоненциалната функцията често се бележи с exp(x), особено когато е неудобно изписването на зависимата променлива като степенен показател. Експоненциалната функция има широка употреба във физиката, химията и математиката.

Графиката на функцията y=ex е растяща и се увеличава по-бързо с нарастването на x. Функцията е положителна за всички стойности на x, но може да приема стойности произволно близки до нулата (при отрицателни стойности на x), което значи, че абсцисата е хоризонтална асимптота на експоненциалната функция. Производната на експоненциалната функция във всяка точка е равна на самата функция. Обратната функция на експоненциалната функция е естественият логаритъм ln(x).

Дефиниция[редактиране | edit source]

Експоненциалната функция (в синьо), и сбора на първите n + 1 члена на степенния ред вляво (в червено).

Експоненциалната функция може да бъде дефинирана по няколко еквивалентни начина. Често използвана дефиниция е следният степенен ред:

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots.

Тази дефиниция важи както за реални така и за комплексни числа. Еквивалентна дефиниция е следната граница:

e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.

Свойства[редактиране | edit source]

Изхождайки от горните определения, може да се докаже, че за експоненциалната функция важи степенното равенство:

\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y),

за всички x и y. Експоненциалната функция е решение на диференциалното уравнение:

\,{d \over dx} e^x = e^x.

Това свойство на експоненциалната функция й дава широко приложение в природните науки.

Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Exponential function“ в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите.